Demostrar que $P'$ tiene $n-1$ raíces reales distintas

Question

Supongamos un polinomio $P$ de grado $n$ tiene $n$ raíces reales distintas, entonces $P'$ (la derivada de $P$ ) tiene $n-1$ raíces reales distintas.

Prueba por inducción:

Caso base: Para $n=1$ , $P_1 (x)=a_0+a_1x, a_1\neq 0$ tiene $1$ raíz real (distinta), $x=\frac{-a_0}{a_1}$ . Entonces $P_1 ' (x)=a_1$ tiene $1-1=0 $ raíz real distinta.

Paso de inducción: Supongamos que la afirmación es válida para algún $n\in\mathbb{N}, n>1$ . Es decir, $$P_n (x) = a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$$ tiene $n$ raíces reales distintas implica que $$P_n'(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2+...+na_nx^{n-1}$$ tiene $n-1$ raíces reales distintas.

Ahora, supongamos que para $n+1$ , $$P_{n+1} (x) = a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n+a_{n+1}x^{n+1}$$ tiene $n+1$ raíces reales distintas. La afirmación es que $P_{n+1}'(x)$ tiene $n$ raíces reales distintas.

Lo sabemos: $$P_{n+1}'(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2+...+na_nx^{n-1} +(n+1)a_{n+1} x^n$$ . Sé por Hipótesis de Inducción que $$a_1+2a_2x+3a_3x^2+...+na_nx^{n-1}$$ tiene $n-1$ raíces reales distintas.

Pero no se me ocurre cómo utilizar este hecho para argumentar el caso de $P_{n+1}'(x)$ .

Answer 1

Simplemente haz un dibujo de $P(x).$ Verás que entre dos ceros cualesquiera hay un punto crítico (A MENOS que el cero sea degenerado, en cuyo caso es un punto crítico en sí mismo). La forma de justificar la imagen es el teorema de Rolle como dice Andrés.

Answer 2

Entre dos raíces cualesquiera de $p(x)$ habrá una raíz de $p'(x)$ por el Teorema de Rolle , por lo que $p'(x)$ tiene al menos $n-1$ y son distintas, pero como $p'(x)$ tiene grado $n-1$ por lo que estos son sólo $n-1$ raíces distintas de $p'(x)$