Pregunta sobre el paquete de galletas que es una variable aleatoria

Question

El peso en gramos del paquete de galletas es una variable aleatoria con un valor esperado de $300$ gramos

$\color{blue}{A)}$ suponer que X se distribuye normalmente con una desviación estándar de $15$ gramos

$\color{blue}{(A_1)}$ ¿Cuál es la probabilidad de que en la compra aleatoria de un paquete de galletas el peso del paquete sea $276-312$ ¿Gramos?

$\color{blue}{(A_2)}$ Si $5\%$ de todos los paquetes están por debajo de la norma del peso más bajo que se permite para el paquete, ¿cuál es la norma?

$\color{blue}{B)}$ respuesta en $\color{blue}{(A_1)}$ , $\color{blue}{(A_2)}$ si $X$ distribuido exponencialmente

Mi intento:

$\color{blue}{(A_1)}$

$$P(276\leq X \leq 312)=F_{_X}(312)-F_{_X}(276)=\Phi\bigg(\frac{312-300}{15}\bigg)-\Phi\bigg(\frac{276-300}{15}\bigg)=\Phi\bigg(\frac{12}{15}\bigg)-\Phi\bigg(\frac{-24}{15}\bigg)=\Phi\bigg(0.8\bigg)-\Phi\bigg(-1.6\bigg)=\Phi\bigg(0.8\bigg)-1+\Phi\bigg(1.6\bigg)\stackrel{\text{table}}{=}0.7881-1+0.9452=\boxed{0.7333}$$

$\color{blue}{A_2)}$

$P(X<\alpha)=5\%$

$\alpha=t+300$

$P(X<t+300)=P(X-300<t)=P\bigg(\frac{X-\mu}{\sigma}<\frac{x-\mu}{\sigma}\bigg)=P\bigg(\frac{X-300}{15}<\frac{t}{15}\bigg)=0.05$

$\Phi\bigg(\frac{t}{15}\bigg)=0.05$

$\Phi\bigg(\frac{t}{15}\bigg)=1-\Phi\bigg(-\frac{t}{15}\bigg)=0.05$

$$0.95=\Phi\bigg(-\frac{t}{15}\bigg)$$

$$-\frac{t}{15}\stackrel{\text{table}}{=}1.645$$

$$t=-24.675=\alpha=t+300$$

$$\Longrightarrow \boxed{\alpha=275.325}$$

$\color{blue}{B_1)}$

$$X\sim \exp(\lambda),\;E[X]=\frac{1}{\lambda}=300,\; \sigma=15$$

$$P(276<X<312)=P(X<312)-P(X<276)$$

$$=1-e^{-\frac{1}{300}\cdot 312}-1+e^{-\frac{1}{300}\cdot 276}\approx \boxed{0.0451}$$

$\color{blue}{B_2)}$

$$P(X<\alpha)=0.05,\;\alpha=t+300$$

$$P(X<t+300)=0.05$$

$$1-e^{\frac{-t-300}{300}}=0.05$$

$$e^{\frac{-t-300}{300}}=0.95$$

$$\frac{-t-300}{300}=\ln(0.95)$$

$$-t-300=\ln(0.95)\cdot 300+300$$

$$t=284.61$$

$$\alpha=\boxed{15.387}$$

¿Es correcto? ¿Hay otros métodos para resolver esto?

Answer 1

Los procedimientos son básicamente correctos. No he comprobado los detalles numéricos.

Hay un par de cuestiones entre erratas y errores en la segunda parte del problema B. La tercera línea mostrada desde el final debería decir $-t-300=300\ln(0.95)$ . La siguiente línea debe decir $t=-284.61$ . Pero el $\alpha$ obtenido en la última línea es correcto.

No era necesario introducir el $t$ . Directamente tenemos $e^{-\alpha/300}=0.95$ Así que $\alpha=-300\ln(0.95)$ .