El peso en gramos del paquete de galletas es una variable aleatoria con un valor esperado de $300$ gramos
$\color{blue}{A)}$ suponer que X se distribuye normalmente con una desviación estándar de $15 $ gramos
$\color{blue}{(A_1)}$ ¿Cuál es la probabilidad de que en la compra aleatoria de un paquete de galletas el peso del paquete sea $276-312$ ¿Gramos?
$\color{blue}{(A_2)} $ Si $5\%$ de todos los paquetes están por debajo de la norma del peso más bajo que se permite para el paquete, ¿cuál es la norma?
$\color{blue}{B)}$ respuesta en $\color{blue}{(A_1)}$ , $\color{blue}{(A_2)}$ si $X$ distribuido exponencialmente
Mi intento:
$\color{blue}{(A_1)}$
$$P(276\leq X \leq 312)=F_{_X}(312)-F_{_X}(276)=\Phi\bigg(\frac{312-300}{15}\bigg)-\Phi\bigg(\frac{276-300}{15}\bigg)=\Phi\bigg(\frac{12}{15}\bigg)-\Phi\bigg(\frac{-24}{15}\bigg)=\Phi\bigg(0.8\bigg)-\Phi\bigg(-1.6\bigg)=\Phi\bigg(0.8\bigg)-1+\Phi\bigg(1.6\bigg)\stackrel{\text{table}}{=}0.7881-1+0.9452=\boxed{0.7333}$$
$\color{blue}{A_2)}$
$P(X<\alpha)=5\%$
$\alpha=t+300$
$P(X<t+300)=P(X-300<t)=P\bigg(\frac{X-\mu}{\sigma}<\frac{x-\mu}{\sigma}\bigg)=P\bigg(\frac{X-300}{15}<\frac{t}{15}\bigg)=0.05$
$\Phi\bigg(\frac{t}{15}\bigg)=0.05$
$\Phi\bigg(\frac{t}{15}\bigg)=1-\Phi\bigg(-\frac{t}{15}\bigg)=0.05 $
$$0.95=\Phi\bigg(-\frac{t}{15}\bigg)$$
$$-\frac{t}{15}\stackrel{\text{table}}{=}1.645$$
$$t=-24.675=\alpha=t+300$$
$$\Longrightarrow \boxed{\alpha=275.325}$$
$\color{blue}{B_1)}$
$$X\sim \exp(\lambda),\;E[X]=\frac{1}{\lambda}=300,\; \sigma=15$$
$$P(276<X<312)=P(X<312)-P(X<276)$$
$$=1-e^{-\frac{1}{300}\cdot 312}-1+e^{-\frac{1}{300}\cdot 276}\approx \boxed{0.0451}$$
$\color{blue}{B_2)}$
$$P(X<\alpha)=0.05,\;\alpha=t+300$$
$$P(X<t+300)=0.05$$
$$1-e^{\frac{-t-300}{300}}=0.05$$
$$e^{\frac{-t-300}{300}}=0.95$$
$$\frac{-t-300}{300}=\ln(0.95)$$
$$-t-300=\ln(0.95)\cdot 300+300$$
$$t=284.61$$
$$\alpha=\boxed{15.387}$$
¿Es correcto? ¿Hay otros métodos para resolver esto?
