Integración doble sobre dos variables aleatorias orden

Question

Supongamos que $f(x,y) = 1$ con $0 \leq x \leq 1$ y $0 \leq y \leq 1$ para simplificar. Usted quiere encontrar $P(X \geq 3Y)$ donde $X$ y $Y$ son alguna variable aleatoria.

No entiendo por qué cambiando el orden de las integrales me da una respuesta diferente (probablemente me estoy perdiendo algo fundamental). Procedo de la manera que supuestamente es la respuesta correcta:

$$\int_{0}^{1} \int_{0}^{x/3} 1\,dydx = \int_{0}^{1} \frac{x}{3} = \frac{x^2}{6} \biggr\rvert_{0}^{1} = \frac{1}{6}$$

Luego pruebo a ver qué pasa si lo hago de la otra manera, donde en lugar de aislar el valor a la derecha de la desigualdad, simplemente sigo con la integración y resuelvo para $P(X \geq 3Y)$ de la siguiente manera:

$$\int_{0}^{1} \int_{0}^{3y} 1\, dxdy = \int_{0}^{1} 3y\,dy = \frac{3y^2}{2} \biggr\rvert_{0}^{1} = \frac{3}{2}$$

Sospecho que estoy haciendo un cambio de orden inválido y no entiendo por qué. Hace mucho tiempo que no tengo que hacer integrales.

Answer 1

El problema está en los límites de la integración en el segundo caso. ¿Qué ocurre? Se integra $f(x,y)$ para $$0\le y \le 1, \quad \text{and}\quad 0\le x\le 3y$$ Pero esto significa que usted permite $x$ para crecer hasta $3$ cuando $y=1$ lo que, por supuesto, no es correcto. Si $x$ supera $1$ entonces $f$ es cero. Los límites correctos serían $$0\le y \le \frac13, \quad \text{and}\quad 0\le x\le 3y$$ Para verlo con más detalle, empecemos con los límites que tienes, pero ten cuidado en el punto donde $f$ cambia su tipo \begin{align}\int_{0}^{1}\int_{0}^{3y}f(x,y)dxdy&=\int_{0}^{\frac13}\int_{0}^{3y}f(x,y)dxdy+\int_{\frac13}^{1}\int_{0}^{3y}f(x,y)dxdy\\&=\int_{0}^{\frac13}\int_{0}^{3y}1dxdy+\int_{\frac13}^{1}\int_{0}^{3y}0dxdy=\frac3{18}+0=\frac16\end{align} como en el primer caso. En el primer caso evitó el error accidentalmente.

Answer 2

Lo primero que hay que hacer es un dibujo. Así que dibuja el cuadrado en el que "vive" la función de densidad conjunta. Dibuja la línea $x=3y$ que puede parecer más familiar como $y=x/3$ .

Queremos la probabilidad de que $Y\le X/3$ por lo que queremos la probabilidad de que el par $(X,Y)$ tierras en la parte $K$ de nuestra plaza que es debajo de (o en) la línea $y=x/3$ .

Dado que la función de densidad conjunta es la constante $1$ la probabilidad requerida es simplemente la zona de $K$ . Pero como está integrando, y como queremos tratar también con funciones de densidad no constantes, resolvamos el problema integrando.

Expresamos la doble integral $\iint_K (1)\,dx\,dy$ como una integral iterada.

Integremos primero con respecto a $y$ . Entonces (mira el diagrama) para cualquier $x$ entre $0$ y $1$ la variable $y$ viaja desde $0$ a $x/3$ y luego $x$ viaja desde $0$ a $1$ . Obtenemos su primera integral (correcta).

Ahora, en cambio, integremos primero con respecto a $x$ . Para las instalaciones fijas $y$ la región $K$ comienza en $y=x/3$ o, por el contrario, en $x=3y$ . Así que $x$ viaja desde $3y$ a $1$ .

Después de eso, $y$ viaja desde el fondo del triángulo $K$ hasta la cima. La cima se alcanza cuando $y=(1/3)(1)$ . Así que la integral correcta es $$\int_{y=0}^{1/3}\left(\int_{x=3y}^1 (1)\,dx\right)\,dy.$$