Distancia mínima entre $x = -y^2$ y $(0,-3)$

Question

Encuentra la distancia mínima de la parábola $x + y^2 = 0$ (es decir $x = -y^2$ ) al punto $(0,-3)$ .

Esta es una pregunta de deberes. Cuando intento utilizar la derivada y sustituir $-y^2$ para $x$ obtengo una expresión sin sentido (si se evalúa, termino con un valor imaginario para $y$ al intentar calcular la distancia). ¿Cuál es la forma correcta de resolver esta cuestión?

Answer 1

Dejemos que $(-y_1^2,y_1)$ sea el punto de la parábola que está a la mínima distancia de $(0,-3)$ es decir, $$R(y_1) = r(y_1)^2 = y_1^4 + (y_1+3)^2$$ debería ser mínimo. ¿Puede averiguar ahora $y_1$ estableciendo la derivada de $R(y_1)$ a $0$ ?

Mueve el ratón sobre la zona gris para obtener la respuesta.

$$\dfrac{dR}{dy_1} = 4y_1^3 + 2y_1 + 6$$ que nos da claramente $y_1=-1$ como una solución y las restantes raíces son complejas. Por lo tanto, el punto de la parábola es $(-1,-1)$ y está a una distancia $\sqrt5$ .