Respuesta en frecuencia $H(e^{-j\omega})$ y calcular su magnitud

Question

Determinar la respuesta en frecuencia $H(e^{j\omega})$ de un sistema caracterizado por $h(n) = (0.9)^n u(n)$

utilizando la definición $$H(e^{j\omega})=\sum_{-\infty}^\infty h(n) e^{-j\omega n}$$ $H(e^{j\omega})=\sum_0^\infty (0.9)^n e^{-j\omega n}$ = $\sum_0^\infty (0.9 e^{-j\omega})^n$ = $$\frac{1}{1-0.9e^{-j\omega}}$$

Entiendo lo anterior pero mi pregunta viene cuando el libro trata de conseguir la magnitud de $H(e^{j\omega})$ .

$$|H(e^{j\omega})| = \sqrt \frac{1}{(1-0.9 \cos\omega)^2+(0.9 \sin\omega)^2}$$

Sé que hay que utilizar la fórmula de Euler y el conjugado complejo. Sin embargo, necesito ver las matemáticas.

Answer 1

Usando eso $\,e^{j \alpha}=\cos \alpha + j \sin \alpha\,$ y $\,|z| = \sqrt{\operatorname{Re}^2(z)+\operatorname{Im}^2(z)}\,$ :

$$ \begin{align} \left|\frac{1}{1-0.9e^{-j\omega}}\right| &= \frac{1}{\;|1-0.9e^{-j\omega}|\;} \\ &= \frac{1}{\;|1 - 0.9 \big( \cos(-\omega)+j \sin(-\omega)\big)|\;} \\ &= \frac{1}{\;|\big(1 - 0.9 \cos(\omega)\big) - 0.9\,j \sin(\omega))|\;} \\ &= \frac{1}{\sqrt{\big(1 - 0.9 \cos(\omega)\big)^2+\big(0.9 \sin(\omega)\big)^2}} \end{align} $$