transformación $y = u v$ transforma la ecuación diferencial

Question

Si una transformación $y = u v$ transforma la ecuación diferencial dada $$f(x) y'' - 4 f'(x) y'+ g(x) y = 0 $$ en la ecuación de la forma $$v'' + h(x) v = 0 $$ entonces $u$ debe ser

1. $ \frac{1}{f^2} $
2. $xf $
3. $ \frac{1}{2f} $
4. $f^2$

Estoy atascado en este problema. ¿Puede alguien ayudarme, por favor? ...............

Answer 1

Toma $y=uv$ tenemos

$$y'=u'v+v'u$$

y

$$y''=u''v+2u'v'+uv''$$

sustituir en la ecuación tenemos

$$(f(x)u''-4f'(x)u')v+f(x)uv''+(f(x)2u'-4f'(x)u)v'=0$$

Entonces si queremos obtener la ecuación

$$v''+h(x)v=0$$

podemos suponer que

$$f(x)2u'-4f'(x)u=0$$ resolviendo esta sencilla ecuación a u

tenemos

$u=e^{2lnf}=f^2$ ,

y obtenemos la ecuación deseada,

$$v''+h(x)v=0$$ ,

donde $h(x)=\frac{f(x)u''-4f'(x)u'}{f(x)u}$