¿Depende la normalidad de una secuencia de concatenación del *orden* de los números que se concatenan?

Question

Si se concatenan los números de base diez de los enteros no negativos (o los números primos) en su orden natural la secuencia de dígitos resultante se sabe que es normal en base diez .

Pregunta 1 : ¿Puede concatenar el mismo conjunto de números en algún otro orden producir una secuencia de dígitos no normal?

No se me ha ocurrido ninguna reordenación de los numerales que dé una secuencia de dígitos claramente no normal, pero tampoco veo cómo demostrar que no la hay.

De forma más general, para un $S\subseteq\mathbb{N}\ $ y una base entera arbitraria $b\ge 2$ :

Pregunta 2 : ¿Es el caso de que cualquiera de los dos todo permutaciones de $S$ producen dígitos concatenados que son normales en base $b$ , si no no ¿la permutación lo hace?

(Una pregunta similar sustituye a "normal en base $b$ " con "absolutamente normal").

NB : Las permutaciones anteriores son con respecto a la secuencia de números a concatenar, a diferencia de la reordenación directa de la secuencia de dígitos resultante. La reordenación directa de los dígitos, que no son todos distintos, no se llamaría propiamente permutación además, la normalidad -absoluta o no- no se conserva reordenando libremente todos los dígitos, porque cualquier irracional positivo podría entonces transformarse en cualquier real positivo. Por ejemplo, si $d_1d_2d_3...$ son los bits fraccionarios de cualquier irracional y $d_1'd_2'd_3'...$ son los bits fraccionarios de cualquier real, entonces existe, trivialmente, una permutación de $\mathbb{N}_+$ , digamos que $(n_i)_{i\ge 1}$ , de tal manera que $d_{n_1}d_{n_2}d_{n_3}...=d_1'd_2'd_3'...$ .

Answer 1

La respuesta a la primera pregunta es sí. La normalidad es una afirmación sobre la densidad límite de cada subcadena. Así, consideremos la secuencia $1, 11, 111, 1111, \dots$ intercalado con cualquier otro número para producir $1, 2, 11, 3, 111, 4, 1111, 5, 11111, \dots$ .

No se me ocurre ninguna razón obvia por la que esto deba ser cierto para los primos. Pero descubrí hay infinitos primos que no contienen el dígito $1$ . Esto nos permite crear una ordenación en la que, tras la concatenación, el dígito $1$ tiene una densidad límite $0$ .

En cuanto a las condiciones que preservan la normalidad, consideremos la situación en la que empezamos con una secuencia algorítmicamente aleatoria como los dígitos de La constante de Chaitin lo cual es absolutamente normal. En ese caso, toda permutación computable será también absolutamente normal.