Me dan la integral $$ \iint\limits_H \, (x+y) \mathrm{d} A $$ donde $H$ es el área del cardioide $r=cos(\theta)+1$ . He trasladado la integral doble a coordenadas polares para resolverla, donde $\mathrm{d} A$ es igual a $r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$ , $x=r\cos\theta$ y $y=r \sin\theta$ : $$\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1+\cos\theta}r^2(\sin\theta+\cos\theta)\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$$ que es igual: $$ \frac{1}{3} \int_{\theta=0}^{2\pi} (\sin\theta + \cos\theta + 3 \sin\theta \cos\theta + 3\cos^2 \theta + 3\sin\theta \cos^2\theta \\+3 \cos^3\theta + \sin\theta \cos^3\theta + \cos^4\theta )\mathrm{d} \theta. $$ Después de algunos cálculos, esta integral es igual a la solución que es $\frac{5\pi}{4}$ . Mi pregunta es ahora cómo resolver la integral doble $$\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1+\cos\theta}r^2(\sin\theta+\cos\theta)\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$$ en forma de $$\int_{r=?}^{?}\int_{ \theta=?}^{?}(r^2\sin\theta+r^2\cos\theta )\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r.$$ Así que, en esencia, cómo invertir el orden de integración de esta integral doble. Gracias de antemano por cualquier ayuda.
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Tenga en cuenta que para $0\le \theta \le \pi$ la relación $r=1+\cos(\theta)$ implica la relación inversa $\theta=\arccos(r-1)$ .
Y para $\pi\le\theta\le2\pi$ , $r=1+\cos(\theta)$ implica la relación $\theta = 2\pi -\arccos(r-1)$ .
Por lo tanto, podemos escribir
$$\begin{align} \int_0^{2\pi}\int_0^{1+\cos (\theta)}r^2(\sin(\theta)+\cos(\theta))\,dr\,d\theta&=\int_0^2\int_0^{\arccos(r-1)} r^2(\sin(\theta)+\cos(\theta))\,d\theta\,dr\\\\ &+\int_0^2\int_{2\pi-\arccos(r-1)}^{2\pi}r^2(\sin(\theta)+\cos(\theta))\,d\theta\,dr\\\\ &=2\int_0^2\int_0^{\arccos(r-1)} r^2\cos(\theta)\,d\theta\,dr\\\\ &=2\int_0^2r^2\sqrt{r(2-r)}\,dr\\\\ &=\frac{5\pi}{4} \end{align}$$
lo que coincide con el resultado obtenido en el PO.
Lo que me gusta hacer es que los límites sean genéricos. Tenga en cuenta que $1+cos\theta \in [0,2]$ . Escribe $1(\cdot)$ para la función indicadora. Así que, de manera informal, escribe $$ \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{1+\cos\theta} = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^2 1(r \le 1+\cos\theta).$$ Ahora puedes intercambiar las integrales sin preocuparte por los límites*. Ahora sabemos que $r \le 1+\cos\theta \iff \cos\theta \ge r-1$ por lo que esto se convierte en $$ \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{1+\cos\theta} = \int_{r=0}^2 \int_{\theta=0}^{2\pi} 1(\cos\theta \ge r-1) = \int_{r=0}^2 \int_{\theta \in \Theta}$$ donde $\Theta$ es el rango de $\theta$ para lo cual $\cos\theta \ge r-1$ , donde $r \in [0,2]$ que dejaré para que lo calcules. Esto le dará el resultado.
*Nótese que a veces no se puede intercambiar el orden de integración, pero esto es una cuestión diferente a lo que dices.
