Estoy interesado en encontrar el menor cero positivo de la función $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\cos(x(n+1))}{n!},\qquad x\in\mathbb R$$ Es aproximadamente igual a $0.832$ . He calculado la expansión en serie de Taylor de esta suma, que es: $$\sum_{k=0}^{\infty}e \cdot\frac{(-1)^k \ B_{2k}\ x^{2k}}{(2k)!}$$ Dónde $B_n$ es la n-ésima Número de timbre .
Pero no sé si ayuda.
Gracias por toda la ayuda para resolver este problema.
El valor más exacto es $\;0.83171119357973597757600960396587803808517294078679544552179166\cdots $ que es igual a $\;\dfrac{\pi}2-D\;$ con $D$ el "Número Dottie" .
El número Dottie se obtiene por iteración del $\cos$ en una calculadora (en modo "radián") como se detalla en Mathworld .
Su suma es igual a $$\Re\bigg(\sum_{n=0}^\infty \frac{e^{ix(n+1)}}{n!}\bigg)$$ o $$\Re\exp\big(ix+e^{ix}\big)=\Re\exp\big(\cos x+i\sin x+ix\big)$$ Utilizando la fórmula de Euler, esto es igual a $$e^{\cos x}\cos(x+\sin x)$$ Para encontrar cuándo es igual a cero, hay que calcular los ceros de la función $$\cos(x+\sin x)$$ o los valores de $x$ para lo cual $$x+\sin x = \pi(n+1/2)$$ para algunos $n\in\mathbb Z$ . No sospecho que exista una solución elemental, pero se puede utilizar esta forma explícita para calcular algunas soluciones aproximadas bastante buenas.
El menor de los ceros se producirá cuando $$x+\sin x = \pi/2$$ que se encuentra en aproximadamente $x\approx 0.832$ . Véase la respuesta de @Raymond para una aproximación más precisa y una representación en términos del número Dottie.
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