Amplios divisores en $\mathbb{P}^n$ volado en $k$ puntos generales

Question

Dejemos que $X$ sea la ampliación de $\mathbb{P}^n$ en $k$ puntos generales. Podemos suponer $k\leq n+4$ . Sea $$D = aH-b_1E_1-...-b_kE_k$$ sea un divisor en $X$ . ¿Existen condiciones para $a,b_1,...,b_k$ garantizando que $D$ ¿es amplio? Sólo conozco resultados de este tipo para $n = 2,3$ . ¿Y la dimensión superior?

En particular es el divisor $D = 3H-E_1-...-E_k$ amplio si $k\leq n+3$ (quizás $k\leq 8$ si $n = 4$ )?

Answer 1

Si $k\leq n+3$ y si $n = 3, k = 7$ o $n = 4, k = 8$ entonces $X$ es un Espacio de Sueño Mori. Puede encontrarlo aquí http://arxiv.org/abs/math/0505337 .

En particular, esto implica que el cono de curvas $NE(X)$ es poliédrica y está generada por un número finito de clases de curvas. Por lo tanto, un divisor $D$ en $X$ es amplia si y sólo si $D\cdot C>0$ para cualquier curva efectiva irreducible en $X$ .

Ahora, dejemos que $p_1,...,p_k\in\mathbb{P}^n$ sean puntos generales, $C\subset\mathbb{P}^{n}$ una curva irreducible de grado $d$ y $m_i = mult_{p_i}(C)$ la multiplicidad de $C$ en $p_i$ . Si $k\leq n+4$ entonces $$m_1+...+m_k \leq 2d.$$

Si $C = dR_i$ es una curva en un divisor excepcional $E_i$ entonces $D\cdot C = db_i$ y se obtienen las condiciones $b_i > 0$ para cualquier $i = 1,...,k$ .

Si $C = dL-m_1R_1-...-m_kR_k$ es un no contratado entonces $D\cdot C = ad-b_1m_1-...-b_km_k$ . En el caso $b_1 = ... = b_k=b$ podemos escribir $D\cdot C = ad-(m_1+...+m_k)b \geq ad-2bd$ . Por lo tanto, obtenemos $a>2b$ .

Resumiendo, si $k\leq n+3$ y si $n = 3, k = 7$ o $n = 4, k = 8$ , si $b >0$ y $a>2b$ entonces $$D = aH-bE_1-...-bE_k$$ es amplia. En particular, en estos casos el divisor $$D = 3H-E_1-...-E_k$$ es amplia.

Además, si $N = \binom{d+n}{n}$ y $0\leq k\leq N-(2n+2)$ El $dH-E_1-...-E_k$ es muy amplio. Puede encontrarlo aquí: https://cms.math.ca/cmb/v45/coppens8082.pdf .

En particular, si $k\leq\binom{3+n}{n}-(2n+2)$ entonces $D = 3H-E_1-...-E_k$ es muy amplio y en particular amplio.