Estoy aprendiendo a resolver ecuaciones diferenciales de Bernoulli y estoy atascado con un problema.

Question

Este yo preparándose para la universidad haciendo algo de cálculo. Estaba tratando de resolver esta ecuación y obtuve una respuesta diferente a la que tiene Wolfram Alpha. (Solución general)

$\frac{dy}{dx} + 2xy = -xy^4$

Tengo $y^3 = 1 + \frac{e^{-3x^2}}{c}$ y Wolfram Alpha tiene $y = \frac{\sqrt[3]{-2}e^{2c_1}}{\sqrt[3]{e^{3x^2}-e^{6c_1}}}$ .

¿Podría indicarme también dónde he cometido el error en mi elaboración?

$\frac{dy}{dx} + 2xy = -xy^4$ asuma que $y\neq 0$ .

$y^{-4}y' + 2xy^{-3} = -x$ dejar $z = y^{-3}$ .

$\frac{dz}{dx} = -3y^{-4}\frac{dy}{dx}$ sustituto $y^{-4}y'$ para $-\frac{1}{3}\frac{dz}{dx}$ . También, usaré la mano corta $z'$ para $\frac{dx}{dx}$ .

$-\frac{1}{3}z'+2xz=-x$

$z'-6xz=3x$ multiplíquelo por el factor de integración $e^{\int{-6x}dx} = e^{-3x^2}$ .

$e^{-3x^2}z'-6xe^{-3x^2}z=3e^{-3x^2}x$ .

Entonces, ahora hago la derivada del factor integrador multiplicado por $z$ para conseguir $3e^{-3x^2}x$ .

$\frac{d}{dx}(e^{-3x^2}z) = -6e^{-3x^2}x$ ¿Podría alguien explicarme también por qué el $z$ cambios a un $x$ ¿Aquí? Sé que se supone que debe ocurrir pero no entiendo por qué.

$-\frac{1}{2}\frac{d}{dx}(e^{-3x^2}z) = 3e^{-3x^2}x$

$\frac{d}{dx}(e^{-3x^2}z) = -6e^{-3x^2}x$

$e^{-3x^2}z = \int{-6e^{-3x^2}x}dx$

Dejemos que $u = -3x^2$ por lo tanto $\frac{du}{dx} = -6x \to dx = -\frac{1}{6x}du$ .

$e^{-3x^2}z = \int{e^{u}}du$

$e^{-3x^2}z = e^{-3x^2} + C$ donde asumiendo $C$ es una constante de integración general no nula.

$z = 1 + \frac{C}{e^{-3x^2}}$

Por lo tanto, tengo la respuesta $y^3 = 1 + \frac{e^{-3x^2}}{C}$

Perdón por la pregunta tan larga.

Answer 1

A su solución le falta un factor de $-\frac12$ *. Con el factor en, es $e^{-3x^2}z = -\frac12e^{-3x^2} + \frac C2$ . Entonces: $$z=\frac C2e^{3x^2}-\frac12=y^{-3}\\y=\frac1{\sqrt[3]{\frac C2e^{3x^2}-\frac12}}=\frac{\sqrt[3]2}{\sqrt[3]{Ce^{3x^2}-1}}$$ Ahora dejemos que $C=e^{-6c_1}$ y multiplicar el numerador y el denominador por $\frac1{\sqrt[3]C}$ . Esto da $$y=\frac{\sqrt[3]2e^{2c_1}}{\sqrt[3]{e^{3x^2}-e^{6c_1}}}$$

Así que tu solución es realmente equivalente a la dada por WA. La tuya sólo se da en términos de $y^3$ mientras que la de ellos es en términos de $y$ .

---

* En su trabajo tenía la línea $$e^{-3x^2}z'-6xe^{-3x^2}z=3e^{-3x^2}x$$ Entonces, a partir de aquí, se puede observar que el LHS es exactamente lo que se obtiene si se diferencia $e^{-3x^2}z$ con respecto a $x$ utilizando la regla del producto. Así que la siguiente línea de tu ecuación debería ser $$\frac d{dx}\left(e^{-3x^2}z\right)=3e^{-3x^2}x$$ Pero en su solución, usted pone $-6e^{-3x^2}$ en el lado derecho. Aquí es donde se pierde el factor extra de $\frac12$ .