La integración de la inversa de un polinomio mediante un método válido da un resultado erróneo

Question

La integral es:

$$\int \frac{1}{x^2+(x-1)^2}dx$$ Una forma de integrar inversiones de polinomios es encontrar sus raíces y hallar las fracciones que, sumadas, dan la fracción original (siendo las raíces los denominadores). Por ejemplo:

$$\int \frac{1}{x^2-x-2}dx = \int \frac{1}{(x-2)(x+1)}dx\rightarrow \frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+1}=\frac{a(x+1)}{(x-2)(x+1)}+\ \frac{b(x-2)}{(x-2)(x+1)}$$ $$\rightarrow ax+a+bx-2b=1 \rightarrow \left\{ \begin{array}{c} ax+bx=0x \\ a-2b=1 \\ \end{array} \right. \rightarrow a=\frac{1}{3}, b=-\frac{1}{3}$$ $$\rightarrow \int \frac{1}{x^2-x-2}dx=\int (\frac{1/3}{x-2}-\frac{1/3}{x+1})dx$$ Y luego resolver.

Sé que esto es conocido, sólo quería mostrar lo que me han enseñado exactamente, sin ambigüedades.

Así que sobre la pregunta. Podemos abrir las plazas para conseguir: $$\int \frac{1}{x^2+(x-1)^2}dx = \int \frac{1}{2x^2-2x+1}dx=\int \frac{1}{2(x-0.5-0.5i)(x-0.5+0.5i)}dx$$ $$\rightarrow \frac{a}{x-0.5-0.5i}+\frac{b}{x-0.5+0.5i}=\frac{1/2}{(x-0.5-0.5i)(x-0.5+0.5i)}$$

Me ahorraré los detalles: $$a=-\frac{i}{2},b=\frac{i}{2}$$ $$\rightarrow \int \frac{1}{x^2+(x-1)^2}dx=\int (\frac{i/2}{x-0.5+0.5i}-\frac{i/2}{x-0.5-0.5i})dx=i(\int \frac{1}{2x-1+i}dx-\int \frac{1}{2x-1-i}dx)$$ Una vez más, ahorramos los detalles de una simple sustitución de la u:

$$=\frac{i}{2}(ln\lvert 2x-1+i\rvert-ln\lvert 2x-1-i\rvert)$$

El valor absoluto (que se suma de integrar algo al (-1)) siempre da un número real, y toda la expresión "ln" se multiplica por un número imaginario, por lo que la salida es siempre imaginaria.

El video actual del que tomé esto contenía una solución completamente diferente. Ni siquiera se acerca a la mía, que siempre es imaginaria. ¿Por qué? ¿Cómo sucedió esto?

Gracias.

Answer 1

Lo hiciste como si $$\int\frac1{x-i}\,\mathrm dx=\log|x-i|.$$ En realidad, no sólo esto no es cierto ya que no tiene sentido, ya que $\log|x-i|$ no es diferenciable, en el sentido del Análisis Complejo. Hay que trabajar con $$\int\frac1{x-i}\,\mathrm dx=\log(x-i),$$ con una rama del logaritmo cuidadosamente elegida.

Answer 2

Una vez que quitas los signos de valor absoluto erróneos, $$\int \frac{\text{d} x}{2x^2-2x+1}=\frac{i}{2}\cdot\ln\left(\frac{2x-1+i}{2x-1-i}\right)+C$$ es una respuesta perfectamente correcta, y de hecho es la misma respuesta que $\arctan(2x-1)+C$ del vídeo.

En primer lugar, las barras de valor absoluto. En cuanto a lo que ha fallado ahí, creo que probablemente sea útil pensar en por qué las necesitamos en el caso de $\int \frac{\text{d}x}{x}=\ln\lvert x\rvert+C$ . No puedo hacerlo mejor que las respuestas ya publicadas a El valor absoluto en la integral de $1/x$ pero para proporcionar una glosa rápida: el logaritmo natural no está definido fuera de los números positivos, pero $1/x$ se define en todas partes, pero $x=0$ . Escribiendo la antiderivada como $\ln\lvert x\rvert+C$ hablemos de los resultados de la integración $1/x$ tanto para $x>0$ y $x<0$ . La necesidad de evitar tomar el logaritmo natural de los números negativos no aparece aquí, por lo que las barras de valor absoluto sólo confunden.

El resto de esta respuesta muestra la equivalencia de lo que encontró con $\arctan(2x-1)+C$ . El camino en el video Una advertencia rápida. Si ya has hecho un curso de análisis complejo, estos próximos párrafos van a ser un montón de palabras que te dirán cosas que ya sabes, en cuyo caso es posible que quieras hojear en lugar de leer, o incluso tratar de averiguar cómo tu respuesta es equivalente a la del vídeo por ti mismo. Voy a suponer un conocimiento mucho menor que eso: es decir, voy a escribir como si

• ha visto antes el plano complejo (pero no ha oído hablar necesariamente del módulo y argumento de un número complejo)
• han oído hablar de la fórmula de Euler: $e^{i\theta}=cos\theta+i\sin\theta$ ,
• que ha trabajado previamente con coördinatos polares $(r,\theta)$ ,
• y por lo demás todo esto es nuevo para ti.

Eso nos lleva al punto en el que dejaste tu trabajo, con la respuesta: $$\frac{i}2\cdot[\ln(2x1+i)\ln(2x1i)]\text.$$ Podemos simplificar esto aún más evaluando $\ln(2x-1+i)$ y $\ln(2x-1-i)$ . Sin embargo, para hacerlo, vamos a necesitar tener una idea de cuál debe ser el logaritmo natural de un número complejo. Esta es nuestra agenda: 1) buscar formas de expresar un número complejo, 2) buscar $e^z$ geométricamente 3) definir $ln(z)$ como el reverso de $e^z$ y 4) utilizar la definición para calcular $\ln(2x-1+i)$ y $\ln(2x-1-i)$ hacer un poco de limpieza algebraica para mostrar la equivalencia de las dos respuestas.

Dos vistas del plano complejo

Al igual que con el plano cartesiano, podemos referirnos a un número complejo mediante un sistema de coordenadas "rectangulares" o polares. En coordenadas rectangulares, escribimos directamente las partes real e imaginaria, por ejemplo: $z=3+i$ . En coordenadas polares escribimos el módulo y el argumento . El módulo se escribe $\lvert z\rvert$ y expresa la distancia del número de $0$ (en el caso de $z=3+i$ esto es $\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$ ). El argumento es el ángulo entre la mitad positiva del eje real y la línea que une $0$ y $z$ . En nuestro ejemplo, Arg $(3+i)=\arctan(1/3)$ . Cuando pensamos en términos de módulos y argumentos, tendemos a escribir los números complejos como $z=\lvert z\rvert e^{i\text{Arg}(z)}$ . Una imagen de nuestro ejemplo en funcionamiento muestra $z=3+i=\sqrt{10}e^{i\arctan(1/3)}$ abajo.

$3+i$ , miente $3$ unidades hacia fuera en el eje real y una unidad hacia arriba en el eje imaginario. También tiene un módulo de longitud $|3+i|=\sqrt{10}$ indicado por la línea azul, y un argumento de $\arctan(1/3)$ dibujado en rojo". />

Una mirada geométrica a $e^z$

Más que nada queremos $\ln(z)$ para ser la inversa de $e^z$ Así que mirando a $e^z$ es un buen punto de partida.

Si sabemos $e^x$ para los valores reales $x$ ¿Qué debe hacer? $e^z$ ¿ser? Empieza con un número complejo $z=x+iy$ y aplicar las reglas habituales de los exponentes: $e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}\text.$ Mirando un poco más de cerca, también podemos reconocer esto como una representación de un número complejo usando su argumento y módulo. Tenemos $\lvert e^z\rvert = e^x$ y $\text{Arg}(e^z)=y$ , más o menos un múltiplo entero de $2\pi$ . En otras palabras, $e^z$ une las representaciones rectangulares y polares del plano complejo tomando un número $z$ dejando que la parte real de $z$ determinar el módulo de $e^z$ mientras que la parte imaginaria de $z$ determina el argumento de $e^z$ .

Una cosa que hay que notar es que, a diferencia de en $\mathbb{R}$ Aquí $e^z$ no es inyectiva. Aunque $5+i\pi\neq 5+3i\pi$ tenemos $e^{5+i\pi}=e^{5+3i\pi}$ . Por eso tuvimos que añadir la advertencia de "más o menos un múltiplo entero de $2\pi$ " antes. Cuando preguntamos por el ángulo entre el eje real y la línea de $0$ a $1+i$ Hay cierta ambigüedad. ¿Se trata de $\pi/4$ ? ¿Queremos decir $9\pi/4$ ? Cualquiera de las dos es una opción válida, pero para hacer $\text{Arg}(z)$ una función bien definida, tenemos que eliminar esa ambigüedad. Normalmente, lo hacemos diciendo $\text{Arg}(z)$ tiene el rango $(-\pi,pi]$ . Ocasionalmente especificaremos que $\text{Arg}(z)$ cae en un rango diferente, como $(0,2\pi]$ . De todas formas, sea cual sea el rango que especifiquemos, lo que estamos haciendo es eliminar los ángulos "duplicados" para que $\text{Arg}(z)$ tiene un valor claro.

Logaritmos naturales de los números complejos

En principio, lo que queremos de la función $\ln(z)$ es tener $\ln(e^z)=z$ . Por las razones que acabamos de explicar, no podemos bastante llegar allí, pero nuestra lógica motivadora para definir $\ln(z)$ es seguir trabajando a la inversa de $e^z$ . Si $f(z)=e^z$ convierte la parte real de $z$ en el módulo de $e^z$ Querremos $f^{-1}(z)=ln(z)$ para convertir el módulo de $z$ en la parte real de $\ln(z)$ . Si $f(z)=e^z$ gira $z$ en el argumento de $e^z$ Querremos $f^{-1}(z)=\ln(z)$ para convertir el argumento de $z$ en la parte imaginaria de $\ln(z)$ . Si se combina todo esto para un número complejo con módulo $r$ y el argumento $\theta$ decimos que $$\ln(re^{i\theta})=\ln(r)+i\theta\text,$$ con la derecha $\ln(r)$ el logaritmo natural que ya conocemos sobre los números reales. También estoy asumiendo $r$ es positivo (si es negativo, podemos hacerlo positivo y ajustar el argumento de $z$ por $\pi$ ). Por cierto, esta versión logaritmo natural puede manejar los números negativos. Si $x<0$ entonces $\ln(x)=\ln\lvert x\rvert+i\pi$ . El logaritmo natural de $0$ sigue sin definirse.

Informática $\ln(2x-1\pm i)$

Ahora vamos a evaluar. Tenemos $2x-1\pm i$ . La vida será más fácil si tenemos estos números como módulos y argumentos. Calculamos $$\lvert 2x-1\pm i\rvert=\sqrt{(2x-1)^2+(\pm 1)^2}=\sqrt{4x^2-4x+2}\text.$$ En cuanto a los argumentos, tenemos que $\text{Arg}(2x-1+i)=\arctan(1/(2x-1))$ y $\text{Arg}(2x-1-i)=\arctan(-1/(2x-1))$ . Si tomamos los valores de $\text{Arg}(z)$ para correr entre $-\pi$ y $\pi$ Esto significa que podemos escribir $\text{Arg}(2x-1+i)=-\text{Arg}(2x-1-i)$ . Ahora tenemos:

$$\begin{align}\ln(2x-1+i)&=\left(\sqrt{4x^2-4x+2}+i\arctan\left(\frac{1}{2x-1}\right)\right)\text{, and}\\ \ln(2x-1-i)&=\left(\sqrt{4x^2-4x+2}-i\arctan\left(\frac{1}{2x-1}\right)\right)\text{.}\end{align}$$

Así que, $$\begin{align}\frac{i}{2}\left(\ln(2x-1+i)-\ln(2x-1-i)\right)&=\frac{i}{2}\left(2i\arctan\left(\frac{1}{2x-1}\right)\right)\\&=-\arctan\left(\frac{1}{2x-1}\right)\\&=-\frac{\pi}{2}+\arctan\left({2x-1}\right)\text,\end{align}$$ con la última línea utilizando el hecho de que $\arctan(a/b)+\arctan(b/a)=\pi/2$ .

Por último, añadimos una constante de integración y doblamos el $-\pi/2$ en él: $$\int \frac{\text{d} x}{2x^2-2x+1}=\arctan\left({2x-1}\right)+C\text.$$

Answer 3

Considera esto en su lugar: $$\begin{align} \phantom{=}&x^2+(x-1)^2\\ =&x^2+(x^2-2x+1)\\ =&2x^2-2x+1\\ =&2\left(x-\frac12\right)^2+\frac12\\ =&\frac12\left[4\left(x-\frac12\right)^2+1\right] \end{align}$$ puedes quitar esta mitad de la integral (para que se convierta en dos) ahora piensa primero en la sustitución $u=x-\frac12$ así que lo consigues: $$(2u)^2+1$$ ahora diga $2u=\tan v$ y ver lo que obtienes :)