Si el interior de una (n-1)-esfera topológica en el espacio n es contráctil, ¿es una n-bola?

Question

Consideremos un submanifold de $\mathbb{R}^n$ que es homeomorfo al $(n-1)$ -Esfera. Por el teorema de separación de Jordan-Brouwer, la eliminación de ese submanifold de $\mathbb{R}^n$ divide lo que queda en dos componentes conectados, uno de los cuales está acotado. Sea $B$ sea el componente acotado, y sea $\overline{B}$ sea su cierre. Una vez que $n>2$ se necesitan suposiciones adicionales para garantizar que $\overline{B}$ es homeomorfo a la zona cerrada $n$ -bola, como se discute en la pregunta DMiz .

Originalmente pregunté -o, al menos, tenía la intención de preguntar- si exigir $\overline{B}$ que se pueda contraer implicaría que fuera una $n$ - de la pelota. De hecho, Bing demostró que $\overline{B}$ es siempre contraíble, por lo que añadir ese requisito no cambiaría nada.

Recientemente se ha estudiado mucho este tema, aunque los matemáticos suelen considerar las incrustaciones topológicas de la $(n-1)$ -esfera en la $n$ -esfera, en lugar de en $\mathbb{R}^n$ para poder estudiar los cierres de los dos componentes en igualdad de condiciones. Estos cierres se denominan "arrugados $n$ -cubos", y pueden ser cerrados $n$ -bolas o "salvajes". Ambos pueden ser salvajes. Si una bola arrugada $n$ -es un colector con límites, entonces es un $n$ - de la pelota.

El notas de Andrew Putman que Lee Mosher sugirió son útiles, y esto publicación en MathOverflow tiene explicaciones claras y más indicaciones.

Answer 1

Supongo que su pregunta es la del encabezamiento:

Supongamos que $f: S^{n-1}\to E^n$ es un homeomorfismo a su imagen $\Sigma$ y el componente acotado $B$ de $E^n - \Sigma$ es contraíble. ¿Es cierto que $B$ es homeomorfo a $E^n$ ?

La respuesta a esta pregunta ya es negativa para $n=3$ . A saber, tomar un arco salvaje $a$ en $E^3$ puntos de conexión $p, q$ , que sólo es salvaje en $q$ . Véase la figura siguiente:

Entonces $S^3 -a$ es simplemente conectada y, por lo tanto, es contraíble (para $i\ge 2$ , $\pi_i(E^3-a)=0$ por la dualidad de Alexander más el teorema de Hurewicz). Sin embargo, no es "simplemente conectado en el infinito" (ya que $a$ es salvaje en $q$ ) y, por tanto, no es homeomorfo a $E^3$ . Ahora, "espesar" $a$ sustituyéndola por una bola salvaje tridimensional $\bar{A}$ con un único punto salvaje, de nuevo en $q$ . El complemento $B=S^3 - \bar{A}$ es homeomorfo a $S^3- a$ y, por lo tanto, es contráctil pero no homeomorfo a $E^3$ . El límite de $\bar{A}$ es una esfera topológica $\Sigma$ . Si se coloca un punto, llamado $\infty$ , en el interior $A$ de $\bar{A}$ entonces $B$ se convierte en el componente acotado de $E^3- \Sigma$ , donde $E^3= S^3- \{\infty\}$ .