La composición de permutaciones es una relación de equivalencia

Question

Para una permutación $p : X \rightarrow X$ , dejemos que $p_k$ denota la permutación resultante de a $k$ -composición doble de $p$ es decir $p^1 = p$ y $p^k = p \circ p^{k1}$ . Definir una relación $\approx$ en el plató $X$ de la siguiente manera: $i \approx j$ si y sólo si existe un $k \geq 1$ tal que $p^k (i) = j$ . Demostrar que $\approx$ es una relación de equivalencia en $X$ y que sus clases son los ciclos de $p$ .

Una relación de equivalencia es reflexiva, transitiva y simétrica.

Reflexividad

$\forall(i) \in X$ debemos tener $(i, i) \in \approx$ Esto es cierto por definición, ya que $p^1=p$ Así que tenemos para cada $i,i \in X$ $p^1(i) = i$ .

Simetría $\forall (x,y) \in \approx$ debemos tener $(y,x) \in \approx$ Esto significa que siempre que $p^k (i) = j$ entonces $p^k (j) = i$ .

Transitividad ?

Varias preguntas:

1. ¿es correcta la reflexividad?
2. en mi caso de simetría, puede $k$ ser diferente para $(x,y)$ y $(y,x)$ ?
3. ¿cómo manejar la transitividad? Puedo escribir la definición, pero no estoy seguro de cómo seguir

Por favor, den pistas, no soluciones completas si es posible.

Answer 1

1. Su prueba de reflexividad no es correcta. $p(i)$ no es necesariamente $i$ . Sin embargo, observe que, si $i$ es un miembro de un ciclo de longitud $n$ en $p$ entonces $p^n(i)=i$ . No puede haber ciclos infinitos en conjuntos finitos.
2. $k$ puede ser diferente para $(x,y)$ y $(y,x)$ - La simetría sería la propiedad de que existe $$\exists k_1[p^{k_1}(i)=j]\Leftrightarrow \exists k_2[p^{k_2}(j)=i]$$ o, en palabras, "Si se aplica $p$ un cierto número de veces tomará $i$ a $j$ entonces, aplicando $p$ un poco más, podemos conseguir $j$ volver a $i$ "
3. Observe que $p^{k_2}(p^{k_1}(i))=p^{k_1+k_2}(i)$ - es decir, aplicar $p$ primero $k_1$ veces, entonces $k_2$ veces es lo mismo que aplicarlo $k_1+k_2$ veces. Por lo tanto, si usted tiene que $$p^{k_1}(i)=j$$ $$p^{k_2}(j)=k$$ qué es $p^{k_1+k_2}(i)$ ?