encontrar la longitud máxima de la suma de dos vectores

Question

Consideremos el siguiente problema

así que introduzcamos el vector con $2$ coordenadas, es decir

$v=(v_1,v_2)$ con longitud $12$ lo que significa que

$v_1^2+v_2^2=144$

y el vector $s=(s_1,s_2)$ con longitud $10$ por lo que significa

$s_1^2+s_2^2=100$

Consideremos ahora la suma de dos vectores $v+s=(v_1+s_1,v_2+s_2)$ si tomamos el cuadrado de cada miembro, obtenemos

$v_1^2+2*v_1*s_1+s_1^2+v_2^2+2*v_2*s_2+s_2^2$

por lo que significa que

$244+2*v_1*s_1+2*v_2*s_2$

ahora para el vector $v$ Las posibles soluciones son $(8,6)$ o $(6,8)$ para el vector $s$ podemos escribir $144$ ¿Qué podemos hacer? Por favor, ayúdenme.

Answer 1

Lo estás haciendo demasiado difícil.

Si los dos vectores son $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ ¿qué dice la desigualdad del triángulo sobre la longitud máxima de $\mathbf{u}+\mathbf{v}$ ?

Una vez que se tiene un límite superior, hay que demostrar que es ajustado. No será difícil.

Answer 2

Si lo miras desde un punto de vista geométrico, queda claro que puedes obtener la máxima longitud si ambos vectores apuntan en la misma dirección. De este modo, basta con sumar la longitud de los dos vectores (el triángulo formado por los dos vectores queda entonces completamente estirado).

Answer 3

Creo que podemos considerar el término $v_1s_1+v_2s_2$ . De hecho, es el producto de dos vectores: $$v*s=v_1s_1+v_2s_2,$$ también hemos $$v*s=||v||||s||cos(\theta)$$ donde $\theta$ es el ángulo entre los dos vectores. Así que tenemos: $$v_1s_1+v_2s_2=v*s=||v||||s||cos(\theta)\leq||v||||s||=12*10=120$$ Tenemos el máximo cuando $cos(\theta)=1$ Así que $244+2∗v_1∗s_1+2∗v_2∗s_2\leq244+2*120=484$ por lo que el máximo de longitud es $\sqrt{484}=22$ . De hecho, la suma de dos vectores es máxima cuando los dos vectores tienen una misma dirección, lo que significa que el ángulo entre ellos es $0$ .