Cómo resolver la función iterada $f(f(x))=x^2+x$ ?

Question

Cualquier ajuste para $f$ es aceptable.

Función iterada

Answer 1

Aparentemente di una solución completa para este problema exacto hace algunos años, es uno de los enlaces de abajo.

Tengo el libro Kuczma, M., Choczewski B., y Ger, R. (1990). Ecuaciones funcionales iterativas . Cambridge University Press que fue de gran ayuda.

La mala noticia es que la derivada en el punto fijo $x=0$ es $1.$ Esto significa que puede construir la solución de Ecalle para $x \geq 0$ para que $f(0) = 0,$ $f'(0) = 1,$ obtenemos $f \in C^\infty,$ y luego, para $x > 0,$ obtenemos $x \in C^\omega.$ Debo subrayar que no existe ninguna solución holomórfica en una vecindad que incluya el origen.

Mi impresión es que perdemos suavidad en $x = - \frac{1}{2}.$

Nada de esto es fácil.

http://mathoverflow.net/questions/45608/formal-power-series-convergence/46765#46765

http://math.stackexchange.com/questions/208996/half-iterate-of-x2c/209653#209653

http://math.stackexchange.com/questions/911818/how-to-obtain-fx-if-it-is-known-that-ffx-x2x/912324#912324