Escribe $\frac1{60}$ como suma de dos fracciones

Question

¿Cuántas formas hay de escribir $\frac1{60}$ como la suma de dos fracciones unitarias?

Hasta ahora he resuelto esto para cualquier número:

1/n = 1/(n(n+1)) + 1/(n+1)

Así que tenemos hasta ahora:

1/120 + 1/120 = 1/3660 + 1/61 = 1/60

Answer 1

Sugerencia $$ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{60} \implies y=60+\frac{3600}{ x-60} $$

Answer 2

Con la comprensión $ab\not=0$ tenemos

$${1\over60}={1\over a}+{1\over b}\iff ab=60(a+b)\iff(a-60)(b-60)=3600$$

Esto implica $a=m+60$ y $b=n+60$ , donde $3600=mn$ con la única excepción de $m=n=-60$ . Desde $3600=2^4\cdot3^2\cdot5^2$ Hay $(4+1)(2+1)(2+1)=45$ factorizaciones con $m,n\gt0$ Por lo tanto $90$ factorizaciones en total, de las cuales $89$ dar soluciones para $a$ y $b$ .

Si quiere restringir a $a,b\gt0$ , entonces sólo están los $45$ soluciones, correspondientes a $m,n\gt0$ (ya que $|m|$ y $|n|$ no puede ser menor que $60$ ). Si desea restringir aún más a $a\ge b\gt0$ , hay $1$ solución con $a=b$ y $22$ soluciones con $a\not=b$ para un total de $23$ soluciones.