Pregunta con la definición de mapas racionales (geometría algebraica)

Question

Me estoy confundiendo un poco con la definición de mapas racionales. A partir de esto Página de Wikipedia y en los libros, un mapa racional entre dos variedades es un morfismo de un conjunto abierto no vacío $U \subseteq X$ a $Y.$ Dos mapas racionales se consideran iguales si coinciden en la intersección de sus dominios. Un morfismo es la restricción de algún polinomio al conjunto abierto.

Ahora, estoy teniendo algunas dificultades para hacer coincidir esta definición con el ejemplo de la variedad afín $X$ dada por la curva $x^2+y^2 = 1$ como un subconjunto de $\mathbb A_\mathbb C^2.$ La función $f(x,y) = \frac{1-y}{x} = \frac{x}{1+y}$ se afirma en la página de Wikipedia que es racional. Sin embargo, ninguna de estas dos expresiones de $f$ parece la restricción de un polinomio.

¿He entendido algo mal?

Answer 1

pregunta: "Sin embargo, ninguna de estas dos expresiones de f se parece a la restricción de un polinomio. ¿He entendido algo mal?"

Respuesta: Encontrará una definición de funciones regulares y mapas racionales en el capítulo I.3 del libro de Hartshornes. Si $k$ es un campo algebraicamente cerrado y $Y \subseteq \mathbb{P}^n_k$ es una variedad cuasi proyectiva, una función

$$f: Y \rightarrow k$$

es "regular" si para cualquier $y \in Y$ existe un conjunto abierto $y\in U \subseteq Y$ y los polinomios homogéneos $u,v\in k[x_0,..,x_n]$ del mismo grado con $v$ distinto de cero en $U$ y $f=\frac{u}{v}$ como función en $U$ .

Obsérvese que el cociente $\frac{u}{v}$ es una función bien definida en $U$ .

Dejemos que $V \subseteq Y$ sea un conjunto abierto y que $\mathcal{O}_Y(V)$ sea el conjunto de funciones regulares sobre $V$ . A continuación $\mathcal{O}_Y(V)$ es un $k$ -Álgebra.

Un "morfismo" de variedades $X,Y$ es un mapa continuo $\phi: X \rightarrow Y$ tal que para cualquier conjunto abierto $V \subseteq Y$ y cualquier función $f\in \mathcal{O}_Y(V)$ lo siguiente

$$ f \circ \phi: \phi^{-1}(V) \rightarrow k$$

es una función regular.

"La función $f(x,y) = \frac{1-y}{x} = \frac{x}{1+y}$ se afirma en la página de Wikipedia que es racional".

La función $f(x,y)$ es regular en el conjunto $V$ donde $x \neq 0$ (y $1+y \neq 0$ ). En su caso el polinomio $x^2+y^2-1$ es irreducible y el anillo $A.=k[x,y]/(f)$ es un dominio integral. Una función racional es un elemento del campo cociente $K(A)$ y su función $f$ vive en $K(A)$ .