Supongamos que $n\geq 3$ . Demostrar que $S_n$ no puede tener un subgrupo normal de orden dos.

Question

Aquí está mi intento de esta prueba:

Se nos da que $n\geq 3$ . Supongamos que $G=S_n$ . Debemos demostrar que $G$ no puede tener un subgrupo normal de orden $2$ . Entonces, supongamos que $H$ es un subgrupo normal de $G$ y que $|H|=2$ . Lo demostraremos por inducción.

(Caso base): Sea $n=3$ . Entonces, $G=S_n=S_3$ . Por el Teorema de Lagrange, tenemos $|G|/|H|=\frac{6}{2}=3\cong\mathbb{Z}_3$ . Aunque $\mathbb{Z}_3$ es abeliano y todos sus subgrupos son normales: es un grupo simple. En otras palabras, sólo tiene los subgrupos normales triviales. Por lo tanto, cuando $n=3$ , $G$ no tiene un subgrupo normal de orden $2$ .

Ahora, supongamos que $G=S_k$ para algunos $k\in\mathbb{N}$ es cierto. Queremos demostrar que $G=S_{k+1}$ es cierto...

No estoy seguro de a dónde ir desde aquí, o si la inducción es incluso la idea correcta aquí.

Answer 1

Sugerencia, y formulando un poco más general, utilice lo siguiente:

(a) Si $N \unlhd G$ y $|N|=2$ entonces $N \subseteq Z(G)$ .

(b) Si $n \geq 3$ entonces $Z(S_n)=\{(1)\}$ .

Answer 2

Los únicos elementos de época $2$ son productos de transposiciones. Si $H=\{e, \sigma\}$ es normal entonces para cada $\tau \in S_n$ , $$\tau\sigma\tau^{-1}=\sigma$$

Esto es imposible. Sin pérdida podemos suponer que, o bien $\sigma$ es una transposición $=(12)$ o contiene dos transposiciones, $=(12)(34)\cdots$ En ambos casos, tome $\tau=(13)$ para un contraejemplo.