¿Están bien definidas la topología fuerte y la débil de los operadores en las álgebras abstractas C* y Von Neumann?

Question

Si $A$ es un resumen $C^*$ álgebra, entonces a $A$ es isométricamente isomorfa a una subálgebra de operadores acotados $B(H)$ para algún espacio de Hilbert $H$ . Podemos restringir la topología débil del operador y la topología fuerte del operador de $B(H)$ a $A$ .

¿Son estas definiciones independientes de $H$ ? ¿Y qué pasa con el caso de $A$ siendo un Álgebra de Von Neummann abstracta (a $C^*$ álgebra que tiene un predual)?

Answer 1

No, las topologías débil y fuerte de los operadores dependen en gran medida de la representación elegida.

Por ejemplo, si usted representa $C([0,1])$ en $L^2([0,1])$ por operadores de multiplicación, entonces las funciones $$f_n(x) = x^n$$ convergen fuertemente a cero. Sin embargo, si se toma la sume directa de esa representación con la representación unidimensional correspondiente al carácter $$f\mapsto f(1),$$ entonces el $f_n$ no convergen fuertemente a ninguna $f$ en $C([0,1])$ .