Convergencia en $H^1(\mathbb{R})$ implica la convergencia en $L^\infty(\mathbb{R})$

Question

Me encontré con la siguiente pregunta, aparentemente sencilla: dejemos $H^1(\mathbb{R})=W^{1,2}(\mathbb{R})$ sea uno de los espacios de Sobolev. Supongamos que tenemos una secuencia $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de funciones en $H^1(\mathbb{R})$ que convergen a algún $f\in H^1(\mathbb{R})$ con respecto a la norma $H^1(\mathbb{R})$ -norma. ¿Implica esto que $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ también converge a $f$ en $L^\infty(\mathbb{R})$ .

Ya encontré la respuesta a esta pregunta para intervalos finitos y también comprobé que al menos la convergencia puntual se mantiene. Sin embargo, realmente necesito una convergencia uniforme en el intervalo no limitado. Gracias por adelantado.

Answer 1

La desigualdad de Morrey establece que $W^{1,p}(\mathbb{R}^n)$ se incrusta en el espacio de Hölder $C^{0,1-n/p}(\mathbb{R}^n)$ .

En su caso $n=1$ y $p=2$ por lo que esto demuestra que $H^1(\mathbb{R})$ está continuamente incrustado en $C^{0,1/2}(\mathbb{R})$ que, a su vez, está continuamente incrustado en $L^{\infty}(\mathbb{R})$ ya que la topología del espacio de Hölder es más fuerte que la de la convergencia uniforme. En particular, existe una constante $C>0$ tal que $$\|u\|_{\infty}\leq C\|u\|_{H^1}$$ por cada $u\in H^1$ que muestra que las secuencias convergentes con respecto a la $H^1$ también convergen uniformemente.

Nota: Esto también funciona en dimensiones superiores y en dominios más complicados que el conjunto de $\mathbb{R}^n$ .