Quien fue el primero en demostrar $\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x}=1$?

Question

Quien fue el primero en demostrar $\lim_{x \to 0}\frac{\sin{x}}{x}=1$?

Answer 1

La relación de $$\sen x < x < \tan x,$$ al $x$ es pequeña, está implícita en serie de Taylor. De acuerdo a wikipedia, Brook Taylor nació en 1685.

De acuerdo a la entrada de la wikipedia de péndulo:

Tenga en cuenta que bajo la aproximación de ángulo pequeño, el periodo es independiente de la amplitud de la $\theta_0$; esta es la propiedad de isochronism que Galileo descubrió.

Galileo Galilei descubrió esta por pequeño ángulo de aproximación: $$\sin \theta \approx \theta \quad \text{ si } \theta \ll 1,$$ la cual se remonta a principios de 1600.

Answer 2

Mi conjetura es que esto de la identidad, aunque tal vez no "demuestra" con el mismo rigor que se espera de las pruebas de hoy, fue conocido en la antigüedad. Ciertamente, en el siglo 10, cuando los matemáticos Islámicos fueron el uso de las seis funciones trigonométricas esencialmente en su forma moderna, ya que la identidad puede ser deducido a partir de un argumento geométrico. El concepto general de un límite es también mucho mayor que el desarrollo de cálculo o el límite de la eventual definición rigurosa, y la presión (o Sandwich) teorema fue conocido en alguna forma a los antiguos Griegos.

Answer 3

La primera persona fuera de este límite de forma explícita, por lo que yo sé, fue Cauchy en su Cours d'analyse de 1821, pp 66-67. Véase la traducción al inglés por Robert E. Bradley y C. Edward Sandifer, p. 45. Cauchy da el límite de nuevo en su Curriculum vitae des lecons (1823), la lección 1.

Answer 4

GH Hardy "Matemática Pura", 10ª Edición p433 (Capítulo IX,sección 224) dice:

La forma más natural [de la definición de la función trigonométrica] es seguir tan de cerca como se pueda el procedimiento ordinaria de los libros de texto, la traducción del lenguaje geométrico que se emplean en el lenguaje de análisis. Hemos hablado de este problema en [secta 163] y concluye que se trata de uno y sólo uno de grave dificultad. Tenemos que mostrar que con cualquier arco de un círculo está asociado un número que llamamos su longitud, o que con cualquier sector de un círculo está asociado un número que llamamos su área.

Él procedes por el uso de área, la cual ha sido definida a través de la integración. Si usted está interesado en los porqués, hay algunas muy interesante la discusión de los temas con diversos enfoques. Sin embargo, él no se habla de la primera persona para hacer este riguroso, y yo estaría interesado en ver otras referencias. Esto no responde a la cuestión del límite, por supuesto, pero muestra que si el rigor que se requiere un poco de cuidado es útil en la definición de $\sin x$, incluso antes de que el límite se considera.

Hardy considera que el límite en la pregunta en la página 182 Ejemplos XXXVI 13, dejando el rigor hasta más tarde.

Esto era demasiado largo para un comentario.