Varianza de la distribución de Poisson de dos variables

Question

Estaba haciendo preguntas de práctica de probabilidad. Pude hacer las 2 primeras partes de esta pregunta pero no entiendo cómo hacer la última parte.

Un instructor hace que sus alumnos A y B pasen a máquina sus trabajos de investigación. Ambos estudiantes cometen errores al teclear según una distribución de Poisson. A comete errores a razón de j por página, mientras que B lo hace a razón de k por página. Sea la variable aleatoria F el número de errores en una página elegida al azar.

a) Si los estudiantes hacen cada uno la mitad del total de la mecanografía, ¿cuál es el PMF de F?

b) ¿Cuál es el PMF de F si B escribe el 70% de las páginas?

c) ¿Cuál es var(F) para el PMF de la parte (a)?

Mis respuestas para las dos primeras partes:

F = número de errores en una página elegida al azar

a) 0,5*(exp(-j) . ¡(j) ^ f)/ f! + 0,5*(exp(-k) . ¡(k) ^ f)/ f!

b) 0,3*(exp(-j) . ¡(j) ^ f)/ f! + 0,7*(exp(-k) . ¡(k) ^ f)/ f!

Answer 1

Sus respuestas para las dos primeras partes son correctas. En cuanto a la tercera parte, la variable aleatoria para el error en una página sería:

$Z = \frac12 X\space + \frac12 Y$

Así que..,

$Var(Z) = (\frac12)^2 *(k+j)$

Answer 2

Dejemos que rv $X$ tienen una distribución de Poisson con parámetro $\lambda=j$ y que rv $Y$ tienen una distribución de Poisson con parámetro $\lambda=k$ .

Dejemos que $B_p$ tienen Distribución Bernoulli con el parámetro $p$ .

Dejemos que $X,Y,B_p$ ser independiente.

Dejemos que $F_p=B_pX+(1-B_p)Y$ .

En a) y b) has calculado la distribución de $F_{0.5}$ y $F_{0.3}$

Observe que: $$F_p^2=B_p^2X^2+2B_p(1-B_p)XY+(1-B_p)^2Y^2=B_pX^2+(1-B_p)Y^2$$

para que: $$\mathbb EF_p^2=\mathbb E(B_pX^2+(1-B_p)Y^2)=p\mathbb EX^2+(1-p)\mathbb EY^2$$

Esto le permite encontrar $\mathsf{Var}F_p=\mathbb EF_p^2-(\mathbb EF_p)^2$ .

El resto se lo dejo a usted.