Ejemplo de un semiproducto $\mathbb{R}$ álgebra

Question

Dejemos que $[n]:=\{1,....,n\}$ y definir el $2^n$ -dimensional $\mathbb{R}$ -Álgebra $C_n$ con base $e_I$ , $I \subset [n]$ , de tal manera que $e_\emptyset = 1, e_ie_j = -e_je_i$ para $i \not =j, e_j^2 = 1 $ y $e_I={e_i}_1....{e_i}_k$ para $I = \{i_1,.....,i_k\}$ tal que $i_1< ....< i_k \in [n]$

(i) Entonces, ¿cómo podría demostrar que el $\mathbb{R}$ -Álgebra $C_n$ ¿es semipreparado?

(ii) También cómo demostraría el que el centro de $C_n$ es $\mathbb{R}.1$ si $n$ es par y $\mathbb{R}.1 \oplus \mathbb{R}.e_1e_2.....e_n$ cuando $n$ es impar por lo que implica que el centro es de los siguientes casos:

• $\mathbb{R}$ si $n\equiv 0\mod 2$

• $\mathbb{R \times R}$ si $n \equiv 1\mod 4$

• $\mathbb{C}$ si $n \equiv 3 \mod 4$

Answer 1

Esencialmente estás pidiendo resultados parciales de la clasificación de las álgebras de Clifford reales . La última línea de su primer párrafo es una referencia fuera de contexto a la base estándar de $2^n$ elementos que etiquetaré como $b_i$ 's.

Hay una presentación bastante buena que cubriría esto en el libro de Jacobson Álgebra básica II sección 4.8, si puedes conseguirlo.

---

Creo que ya he visto un análisis directo de los centros, pero no parece demasiado sencillo. La forma más fácil de sacar esta conclusión es estudiar el teorema de la estructura y averiguar que estas álgebras son todas de estos tipos:

1. Un anillo matricial completo sobre $\Bbb R$ o $\Bbb H$

2. Un anillo matricial completo sobre $\Bbb C$

3. $R^2$ donde $R$ es del tipo 1 anterior.

El primer caso tiene centro $\Bbb R$ El segundo $\Bbb C$ y la tercera $\Bbb R\times \Bbb R$ . Su aparición está controlada por $n$ .