Como el título lo indica, es parece que $e ^ x$ es el única función cuyo derivado es igual a sí mismo.
Gracias.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Bueno, creo que de crecimiento exponencial (como, por ejemplo, las bacterias crecen):
Sabemos, más bacterias que existen en una colonia, el más rápido de la colonia va a crecer. Más precisamente: La velocidad de crecimiento de la colonia $B$ es proporcional a su tamaño ... el Doble de tamaño, el doble de la velocidad.
$$\frac{dB}{dt} \sim B$$
Además sabemos que el crecimiento es exponencial, ya que las bacterias clon de sí mismos en cantidades fijas de tiempo, es decir,
$A$B \sim 2^{k\cdot t}$$
Poner juntos, podemos deducir que:
$$\frac{d}{dt}2^{kt} = c \cdot 2^{kt}$$
o con $a = 2^k$
$$\frac{d}{dt}^t = c \cdot a^t$$
Ahora, ¿cómo podemos obtener la $e$? Acabamos de preguntar: ¿Qué base de $un$ qué debemos tener tales que $c = 1$, es decir $\dot{B} = B$?
Simplemente llame a esa base $e$. Tener un $e$ es bastante útil. Podríamos utilizar su especial derivación rasgos que se encuentra por encima de definir todas las funciones exponenciales a la base de $e$.
$$a^x = e^{x \cdot \ln a} $$
Esto muestra que el factor $c$ lo hemos encontrado en las ecuaciones anteriores es igual a $\ln a = \log_e$ y por lo tanto, se puede deducir con facilidad todo tipo de exponencial términos.
Después de todo, $e$ resulta ser de $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x \aprox 2.718\ldots$
Brian Deacon
Puntos
4185
(Se parece a Niel y "J" se me adelantó, mientras que yo era la composición de este, pero voy a publicar mi respuesta de todos modos, ya que me gusta a mi el diagrama. :) )
Usted no puede conseguir mucho más intuitiva que la Ley de los Exponentes ($a^x^c = a^{x+c}$) a la derecha?
Para reducir simbólico (y mental) el desorden por un tiempo, vamos a escribir $k$ $a^c$, para obtener
$$k \; a^x = a^{x+c}$$
El punto es que
Multiplicar el valor de $a^x$ por algo que se obtiene el mismo resultado que añadir alguna que otra cosa para el exponente.
Considerar lo que este poco de álgebra nos dice acerca de la geometría de la gráfica de la función $ $ y=a^x$ (se muestra en rojo en la figura de abajo). Recordemos algunas nociones fundamentales:
$ $ y=k a^x$ es el resultado de un estiramiento vertical (ampliación) el gráfico original por un factor de $k$.
$y = a^{x+c}$ es el resultado de la horizontal de deslizamiento (traducir) la gráfica original por un (firmado) distancia de $-c$.
La Ley de los Exponentes nos dice que (siempre que $k$ y $c$ son relacionadas de manera apropiada), transformaron los gráficos son idénticos! En la figura, el azul del gráfico representa ambos resultados.[*] Es importante destacar que, los puntos a los que se dirija a donde no son los mismos en ambas acciones; el escalado se mueve el punto rojo $P$ verticalmente sobre el punto azul $Q$; traducir mueve el punto rojo $R$ horizontalmente en $Q$.
Ahora, como sugiere el diagrama, imaginar un vector tangente que sobresalen de cada punto de la gráfica original, y considerar lo que las transformaciones que se hacen los vectores:
- Verticalmente el estiramiento de las escalas (sólo) el "ascenso" del vector por el factor $k$; es decir, un vector con pendiente $m$ se tira para lograr una pendiente de m $k$.
- Horizontalmente, la traducción no tiene ningún efecto sobre el vector de la pendiente.
¿Qué podemos concluir de aquí? Por qué, algo muy notable:
Para cualquier punto $P$ en el gráfico original, el punto $R$ - situado a $c$ unidades a la derecha[**] de $P$-- es tal que la pendiente del vector tangente a $R$ es $k$-tiempos de la pendiente del vector tangente en P $$ (donde $k$ y $c$ son relacionadas de manera apropiada).
Permítanme aprovechar esta oportunidad para retirarse de $k$, ya se está empezando a convertirse en desorden; voy a hacer la correspondiente relación explícita. También, voy a retirarme el nombre del punto de $R$, optando para describir el punto en su lugar. Lo voy a resumir las cosas de esta manera:
En el gráfico $y=a^x$, si la pendiente del vector tangente en cualquier $P$ es $m$, entonces la pendiente del vector tangente en el punto $$ c unidades a la derecha de $P$ es $m\;a^c$.
Observe que no hay nada especial acerca de los jugadores en este juego. $P$ es cualquier punto en la gráfica, $c$ es cualquier (horizontal) de distancia de usted cuidado de elegir; heck, incluso el valor exacto de $a$ es para cualquiera. Vamos a usar esto a nuestro favor.
Supongamos que tomamos $P$ a de ser el punto donde el original, rojo) gráfica cruza el $$y-eje; es decir, tomamos $P$ a $x$coordenada $0$ (e $y$coordenada $1$, pero esto realmente no importa). Entonces, "el punto $$ c unidades a la derecha de $P$" puede ser descrito simplemente como "el punto $$x coordenada $c$", y hemos
En el gráfico $y = a^x$, si la pendiente del vector tangente en el punto $$x coordenada $0$ es $m$, entonces la pendiente del vector tangente en el punto $$x coordenada $c$ es $m\;a^c$.
En Calculusian prosa:
Si $f(x) = a^x$, entonces $f^{\prime}(c) = a^c f^{\prime}(0)$.
Observe que no necesitamos ni "$c$" en la fórmula anterior, ya que es sólo tomar el lugar de un poco de $$x-coordenada. Simplemente podemos escribir:
Si $f(x) = a^x$, entonces $f^{\prime}(x) = a^x f^{\prime}(0)$.
A partir de aquí, es casi una cuestión de definición para llegar a la final de la respuesta a su pregunta. Después de todo, lo anterior se cumple para cualesquiera (no negativo) el valor de $a$. Claramente, algunos de los valores de $a$ corresponden a las gráficas que cruzar el $$y-axis muy pronunciadas; algunos valores corresponden a las gráficas que cruzar el $$y-axis muy superficialmente; no es la onu razonables para creer que existe un conveniente sería la causa de la gráfica para cruzar el $$y-eje juuuuuuuuust derecho ... con una pendiente de 1$$. Por supuesto (como puedo mezclar mi folclore), a nombre de un demonio es el control de él, así que simplemente vamos a asignar un símbolo a este "justo" valor de $a$.
Digamos que "e" es el número tal que el vector tangente a $ $ y=e^x$ $x=0$ pendiente $1$.
Suponiendo que un número realmente no existe, usted incluso no tiene que saber su valor exacto a la conclusión de
Si $f(x) = e^x$, entonces $f^{\prime}(x) = e^x$.
A continuación, puede activar su atención para averiguar por qué $e$ pasa a tener el valor de $2.718...$ . Otras respuestas en este hilo proporcionan ideas sobre cómo los argumentos de proceder.
También se deja como ejercicio es determinar por qué, en la fórmula para la derivada de $a^x$, "$f^{\prime}(0)$" factor es, de hecho, "$\log$" (el logaritmo natural de $$).
[*] Como Niel menciona, esto ilustra que la gráfica de una función exponencial es la "auto-similares". Creo que es importante añadir "uni-direccionalmente" a la descripción, con el fin de distinguirla de (convencional) la similitud de las transformaciones de escala donde se produce "omni-direccional".
[**] "a la izquierda" funciona, también, con los cambios pertinentes para la discusión.
ScArcher2
Puntos
22118
David HAust
Puntos
2696
Uno conceptual para entender la definición estándar de $e^x = \lim_{n\to\infty}(1+x/n)^n$ es verla como el resultado de la aplicación de Euler método de aproximación a $\,y' = y.\,$ El mismo método también funciona para arbitrario de orden superior constante coefficiant Odas mediante la conversión a sistema lineal la forma y el empleo de la matriz de las exponenciales. Esto se describe bastante bien en Arnold hermoso libro de ecuaciones diferenciales Ordinarias. Aquí hay un extracto:
KP.
Puntos
1177
Hay dos componentes a la pregunta original:
¿Por qué las funciones exponenciales en general (la clase $x \mapsto ab^x$ para $b>0$) tienen la propiedad de ser funciones propias del operador de la derivada? Que es: ¿por qué estas funciones f tiene la propiedad $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} f(x) = \lambda f(x)$?
¿Por qué son las funciones $x \mapsto \mathrm e^x$, en particular, +1 funciones propias --- es decir, ¿por qué es el escalar $\lambda$ igual a 1 para estas funciones, en particular? (Para decirlo de otra manera: ¿por qué es este el caso cuando la base es igual a la constante particular e ≈ 2.71828?)
Me puede dar una respuesta intuitiva a la primera de estas preguntas, mediante la combinación de dos observaciones.
Considere la posibilidad de que la pendiente en un paticular punto, por ejemplo, en x = 0. La multiplicación de la función f(x) por algunos escalares ahora sólo amplifica la función por ese factor, sino que también amplifica la pendiente por el mismo factor. (Esto es sólo una reformulación de la regla del producto, para escalar constante factores).
Funciones exponenciales f(x) son auto-similar: la multiplicación por un escalar positivo es equivalente a la traducción de los mismos a la izquierda o a la derecha, dependiendo del escalar por el cual se multiplica: más precisamente, si se multiplica $\mathrm e^x$ por c, ¿por qué usted consigue es $\mathrm e^{[x + \ln(c)]}$, o la misma función traducido ln(c) a la izquierda. Más en general, por $f(x) = ab^x$, tenemos cf(x) = f(x + logb(c)); es decir, la multiplicación de f(x) por c es equivalente a un desplazamiento a la izquierda por el registrob(c).
Ahora, combinar estos dos hechos. La pendiente de f(x) en x = logb(c) es c veces la pendiente de f(x) en x = 0, debido a la auto-similitud de la función exponencial, y debido a la pendiente de la cf(x) en x = 0 es c veces la pendiente de f(x) en x = 0. Por lo tanto la pendiente de f(x) es una función la cual es proporcional a f(x), QED.
