$\{ \sqrt n x^n\}$ es divergente en $(C[0,1],d_2)$

Question

Dejemos que $f_n \in C[0,1]$ tal que $f_n(x)=\sqrt nx^n, n \in \Bbb Z^+$ . Quiero demostrar que $\{f_n\}$ es divergente en $(C[0,1],d_2)$ .

Usé la definición y obtuve esto

$$||f||_2 = \sqrt{\int^1_0 (\sqrt nx^n)^2}$$ Lo que eventualmente me dio $$\sqrt {\cfrac {n} {2n+1}}$$ Tomando $n$ al infinito me da $1$ como límite. Esto no es divergente... ¿qué me estoy perdiendo?

Answer 1

Otra forma es comprobar que $$ \lim_{n\to +\infty}\| f_{n^2} - f_{n^4} \|_2 = 1 $$ así que $\{f_n\}_{n\geq 1}$ no es una sucesión de Cauchy.

Answer 2

Dejemos que $f\in C.$ Entonces $|f|\le M$ para alguna M positiva. 

$$\int_0^1(\sqrt nx^n-f(x))^2\,dx = \int_0^1 (nx^{2n} -2\sqrt nx^nf(x)+f(x)^2)\,dx$$ $$\ge \frac{n}{2n+1} - 2M\frac{\sqrt n}{n+1} +\int_0^1f(x)^2\,dx.$$

Como $n\to \infty,$ la última expresión $\to \dfrac{1}{2} + 0 + \int_0^1f(x)^2\,dx.$ Esto es $\ge \dfrac{1}{2}$ no importa qué $f$ es. Por lo tanto, $f_n$ no puede converger a ningún $f\in C$ en el $d_2$ norma.

Answer 3

Lo que has hecho en realidad demuestra que la secuencia no es convergente.

El límite puntual es $0$ . Converge en $d_2$ el debe converger a $0$ . Pero $\|f_n\| $ no tiende a $0$ como ha demostrado. Por lo tanto, la secuencia no es convergente.

[Si $f_n \to f$ por ejemplo $d_2$ entonces hay una subsecuencia que converge a $f$ casi en todas partes. De ahí que el único límite posible sea la función cero].