Fórmula de suma para una pregunta básica de matemáticas

Question

Estoy revisando algunos viejos casos de estudio jubilados que tenemos en el trabajo y que solíamos dar a los candidatos que hacían entrevistas. Hay una pregunta breve sobre una parte del caso que es bastante sencilla, pero tengo curiosidad por saber una forma "fácil" de resolver una pregunta adicional que podría haberse formulado.

Pregunta: Empiezas con 1M de clientes. Creces en 1M de clientes cada mes (así que el mes 1 es 1M de clientes). El 40% de los 1M de clientes cada mes te pagarán 5 dólares (cuota mensual de suscripción a un determinado producto). ¿Cuánto ganamos en el primer mes? Pues 1M * 0,40 *. $5 -> $ 2M, 400k clientes adicionales cada mes.

¿Y si la pregunta fuera cuánto ganamos al final del año? El primer mes tenemos 400k clientes que pagan 5 dólares, pero el segundo mes tenemos 400k + nuevos 400k que pagan 5 dólares. Todo el camino hasta el mes 12. Por supuesto, se puede hacer esto manualmente, pero eso tomaría un tiempo, y es fácil de hacer en Excel .. pero ¿hay una fórmula de suma que se puede utilizar aquí?

Answer 1

Parece que $40\%$ de sus clientes en el mes $n$ pagarle $\$ 5$ cada uno. En el mes $n$ , usted tiene $n$ veces más clientes que en el mes $1$ Así pues, reciba $n$ veces más dinero que en el mes 1 ( $n=1,2,\ldots,12$ ). Así que en el mes $n$ , usted está recibiendo $2000000n$ dólares. El total de dinero recibido en dólares en el primer $12$ meses es así $$\sum\limits_{n=1}^{12}2000000n = 2000000\sum\limits_{n=1}^{12}n.$$

Entonces, utilizando el hecho de que $\sum\limits_{n=1}^Nn= N(N+1)/2$ para cualquier número entero positivo $N$ tenemos $\sum\limits_{n=1}^{12}n = 12\times 13/2 = 78$ . Por lo tanto, usted recibe $$2000000\times 78 = 156 \text{ million dollars}.$$

---

En resumen, sí, hay una fórmula de suma que se puede utilizar. El ingrediente clave es la fórmula $$\sum\limits_{n=1}^Nn= N(N+1)/2$$ (es decir $1+2+\cdots+N = N(N+1)/2$ ).

En este caso, $N$ es bastante pequeño ( $12$ ), por lo que los candidatos que no conocieran la fórmula probablemente podrían calcular manualmente $1+2+\cdots + 12$ todavía. (Así que si quieres reducir las posibilidades de que los candidatos calculen manualmente, podrías cambiar $N$ de $12$ a un número mayor, como $24$ o $36$ .)