¿Puedo realizar esa $$E\left[\sum_{i=1}^{n}X_i\right] = \sum_{i=1}^{n}E[X_i]$$ si $X_i$ no es i.i.d.?
En otras palabras, ¿puedo mover la suma dentro de la expectativa en cualquier situación?
Además, ¿qué pasa con la varianza $Var(\sum_{i=1}^{n}X_i)$ ? ¿Es lo mismo que la expectativa?
Sí.
$$\mathbb{E}[A+B] = \mathbb{E}[A]+\mathbb{E}[B]$$ no requiere $A$ y $B$ para ser i.i.d.
El resultado se puede demostrar por inducción.
Además, edito para responder a la pregunta añadida: $$\operatorname{Var}\left[ \sum_{i=1}^n X_i \right] = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \operatorname{Cov(X_i,X_j})=\left(\sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i)\right)+2\sum_{i=1}^n\sum_{j = i+1}^n\operatorname{Cov(X_i,X_j)}$$
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Sí, esta característica de la expectativa no está relacionada con la independencia o la dependencia de las variables aleatorias.
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Y No, No es lo mismo para la varianza, a menos que el $X_i$ no están correlacionados. Supongamos que $X \equiv Y.$ Entonces $Var(X + Y) = Var(2X) = 4Var(X),$ que no es el mismo que el incorrecto $Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) = 2Var(X).$
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Sólo un recordatorio técnico que requiere que cada expectativa exista. Usted puede tener $E[X - X] = E[0] = 0$ pero $E[X]$ no existe, digamos $X$ es Cauchy.