Operador absolutamente 2-sumable en un espacio de Hilbert

Question

Un operador lineal con rebote $A \in L(X, Y)$ (aquí $X$ , $Y$ son espacios de Banach) se llama absolutamente $2$ -sumable si existe un $C>0$ tal que $$ \left( \sum_{j=1}^N \| A x_j\|_X^2 \right)^{1/2} \leq C \cdot \sup \left\{ \left(\sum | \langle x_j, \omega \rangle | \right)^{1/2} \mid \omega \in X', \|\omega\|_{X'} = 1 \right\}$$ para cualquier conjunto finito de vectores $x_1, \dots x_N \in X$ . El $2$ -La norma sumable es el mínimo de todas las constantes $C$ .

Estos operadores son el análogo natural de los operadores de Hilbert-Schmidt: Si $X$ y $Y$ son espacios de Hilbert, que $A$ es absolutamente $2$ -sumable si y sólo si $A$ es Hilbert-Schmidt, y las normas coinciden.

Ahora la pregunta es: Si $X$ es un espacio de Hilbert (pero $Y$ no lo es), podemos restringir a los elementos $x_j$ de alguna base ortonormal? Es decir, si permitimos que sólo los elementos de una determinada ONB tomen por $x_1, \dots, x_N$ ¿puede el resultado $C$ sea estrictamente menor que el $2$ -¿Norma sumable?

Answer 1

He respondido a la pregunta del OP en un comentario, pero la pregunta correcta es si se puede estimar el $2$ -norma de suma de un operador $T$ de un espacio de Hilbert $H$ tomando $\sup (\sum \|Te_n\|^2)^{1/2}$ donde el sup es sobre todas las bases de ON $(e_n)$ para $H$ . De hecho, si $H$ es de dimensión infinita, este sup es igual al $2$ -norma de suma (combinar un argumento de dilatación con el hecho de que $T$ es esencialmente cero en un subespacio de dimensión infinita). Más interesante es que el sup es al menos $2^{-1/2}$ veces el $2$ -sumando la norma de $T$ . Esta es la esencia del lema de Tomczak (véase el teorema 18.4 en su libro "Banach-Mazur distances and finite-dimensional operator ideals").