Medición del colapso de la función de onda

Question

Leí en la mecánica cuántica de Griffith que

En un sistema particular, la segunda medición temporal de la posición (digamos) daría el mismo resultado (el mismo colapso o el mismo pico) dado que la medición se hace rápidamente (ya que pronto se extiende).

No entiendo cómo de rápido se supone que es esto. ¿Podría alguien dar una sensación cuantitativa de esta rapidez?

Answer 1

Esta respuesta depende de la escala de tiempo de su sistema. A menudo, el problema se puede reformular de la siguiente manera. Si se empieza con un estado a $\vert\psi_0(0)\rangle$ evolucionando bajo un Hamiltoniano $\hat H$ para que $U(t)$ es la evolución resultante, se puede preguntar para qué pequeño tiempo $\Delta t$ será la probabilidad de encontrar el sistema en $\vert\psi_0(0)\rangle$ ser mayor que $1-\epsilon$ , donde $\epsilon$ se supone pequeña y dependerá de $\Delta t$ . En otras palabras, uno pide lo que $\Delta t$ es $$ \vert \langle \psi_0(\Delta t)\vert \psi_0(0)\rangle \vert^2<1-\epsilon. \tag{1} $$ con $\vert\psi_0(t)\rangle =U(t)\vert\psi_0(0)\rangle$ .

Esto define "rápidamente" en el sentido de que, si se vuelve a medir dentro del intervalo de tiempo $\Delta t$ sólo hay una pequeña probabilidad $\epsilon$ que su sistema habrá evolucionado a partir de su estado inicial. Dada su tolerancia $\epsilon$ puede encontrar el $\Delta t$ para mantenerse dentro de esta tolerancia.

Suponiendo que $\hat H$ no depende explícitamente de $t$ para simplificar, $U(t)=e^{-i\hat H t/\hbar}$ y para tiempos pequeños se suele escribir \begin{align} \vert\psi_0(\Delta t)\rangle &\approx \left(\hat 1-i\frac{\Delta t}{\hbar} \hat H -\frac{(\Delta t)^2}{2\hbar^2}\hat H^2 \right) \vert\psi_0(0)\rangle\\ \langle \psi_0(0)\vert\psi_0(\Delta t)\rangle&= 1 -i\frac{\Delta t}{\hbar} \langle \psi_0(0)\vert \hat H\vert \psi_0(0)\rangle -\frac{(\Delta t)^2}{2\hbar^2} \langle\psi_0(0)\vert H^2\vert\psi_0(0)\rangle \end{align} desde donde se puede completar el cálculo de $$ \vert \langle \psi_0(0)\vert\psi_0(\Delta t)\rangle \vert^2\le 1-\epsilon $$ y encontrar $\epsilon$ en términos de $\Delta t$ y los elementos de la matriz de $\hat H$ .

Así, por ejemplo (utilizando $\hbar=1$ ), digamos que tomamos $$ \hat H=\sigma_x+\sigma_z=\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ \end{array} \right) $$ y supongamos $\vert\psi_0(0)\rangle=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)$. Then $$ U(\Delta t)= \left( \begin{array}{cc} \cos \left(\sqrt{2} \Delta t\right) -\frac{i \sin \left(\sqrt{2} \Delta t\right)}{\sqrt{2}} & -\frac{i \sin \left(\sqrt{2} \Delta t \right)}{\sqrt{2}} \\ -\frac{i \sin \left(\sqrt{2} \Delta t\right)}{\sqrt{2}} & \cos \left(\sqrt{2} \Delta t \right)+\frac{i \sin \left(\sqrt{2} \Delta t\right)}{\sqrt{2}} \\ \end{array} \right) $$ y $$ \langle \psi_0(0)\vert U(\Delta t) \vert\psi_0(0)\rangle =\cos \left(\sqrt{2} \Delta t \right)-\frac{i \sin \left(\sqrt{2} \Delta t\right)}{\sqrt{2}} $$ de modo que, ampliando, se encuentra $$ \vert\langle\psi_0(0)\vert U(\Delta t)\vert\psi_0(0)\rangle\vert^2 \approx 1-(\Delta t)^2 $$ por lo que, en este caso, "rápidamente" significa $(\Delta t)^2<\epsilon$ .