La solución de pecado z = -z en reales

Question

¿Cómo podemos probar que z=0 es la única solución real? Traté de examinar los casos y los cuartos, pero no estoy seguro cómo es rigurosamente probado.

Answer 1

Para $|z|>1$, no se puede tener una igualdad desde $|\sin z|\leq 1$. Dentro del círculo de radio 1, observa que cuando $-z<0$, $\sin z$ es positivo, y viceversa cuando se $-z$ es positivo $\sin z<0$. Entonces no hay ninguna posibilidad de que los dos valores coinciden.

Answer 2

Desde $-1 \le \sin(z) \le 1$, sólo tenemos que ver el $z \in [-1, 1]$.

Si $z \ne 0$, el signo de $\sin(z)$ es el mismo que el signo de $z$.

Answer 3

Sugerencia: suponga que una segunda solución $z_1$. Aplicar el teorema de Rolle (¿dónde?).

Answer 4

Aviso de $\sin z+z$ ha derivado $1+\cos z$, lo que es positivo para todos los $z\in\Bbb R$ y que se ha aislado de los ceros. Así que nuestra función es creciente, y como $1+\cos 0>0$ la derivada es positiva en un barrio de $0$, por lo que la función tiene un único cero.