Diferenciar la función: $g(u)=\ln\left(\frac{\ln\ u}{1+\ln\ (2u)}\right)$

Question

$$g(u)=\ln\left(\frac{\ln\ u}{1+\ln\ (2u)}\right)$$

$$=\ln\ (\ln\ u)-\ln(1+\ln\ (2u))$$

Esta es la parte en la que me confundo un poco. Tenga en cuenta que estoy utilizando esta fórmula $$\frac{d}{dx}[\ln g(x)]=\frac{g'(x)}{g(x)}$$

y éste también $$\frac{d}{dx}[\ln\ x]=\frac{1}{x}$$ así,

$$=\frac{1}{\ln\ u} - \frac{(1+ \ln (2u)\cdot (2)}{1?\ln\ (2u)\cdot (2u)}$$

¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

No, parece que te equivocas.

Como ha escrito, el uso de $$(\ln(f(u)))'=\frac{f'(u)}{f(u)}\tag1$$ tenemos $$(\ln(\ln(u))-\ln (1+\ln(2u)))'=\frac{(\ln(u))'}{\ln(u)}-\frac{(1+\ln(2u))'}{1+\ln(2u)}$$ Aquí, utilice $(1)$ de nuevo.