Consideremos la solución general de una ecuación diferencial $$y=(C_1+C_2)\cos(x+C_3)+C_4\exp(x)+C_5$$ Sin diferenciar esta ecuación y encontrar la ecuación diferencial para ella, cómo podemos decir cuál es el orden de esa ED. Por supuesto, siempre podemos contar el número de constantes arbitrarias, que en este caso creo que son $4$ (ya que $C_1+ C_2$ es sólo un ). Pero mi libro de texto dice que la ED tiene orden $3$ . ¿Me falta algo? Creo que mi error está en no absorber una constante más, lo que intenté hacer de la siguiente manera- $$y=K (\cos C_3 \cos x-\sin C_3 \sin x)+C_4\exp(x)+C_5$$ y entonces también podemos absorber el coseno y el seno de $C_3$ . Pero incluso aquí, me parece que todavía tenemos $4$ constantes. Se agradece cualquier ayuda.
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Como $C_1+C_2=C_0$ por lo que hay efectivamente 4 parámetros en la solución, por lo que su EDO debe ser de orden $4$ . Establezcamos la EDO para $$y=C_0 \cos(x+C_3)+C_4 e^x+C_5~~(1)$$ D. w. r. $x$ entonces $$y'=-C_0 \sin(x+C_3)+C_4 e^x \implies e^{-x}y'=-C_0 e^{-x}\sin(x+C_3)+C_4~(2)$$ D. c.r. t. $x$ $$-e^{-x}y'+e^{-x}y''=C_0 e^{-x} \sin(x+C_3)-C_0 e^{-x} \cos (x+C_3)$$ $$\implies y''-y'=C_0 \sin(x+C_3)-C_0 \cos(x+C_3)~~(3).$$ D. W.R. t. $X$ $$\implies y'''-y''=C_0 \cos(x+C_3)+C_0 \sin (x+C_3)~(4)$$ Sumando (3) y (4), obtenemos $$y'''-y'=2C_0 \sin (x+C_3)~~(5)$$ Restando (3) y (4) obtenemos $$y''-y'-y'''+y''=-2C_0 \cos(x+C_3)(6)$$ D. w. r. t. $x$ en (5), obtenemos $$y''''-y''=2C_0 \cos (x+C_3)~~(7)$$ Sumando (6)y (7) , obtenemos con éxito las req \uired ODE de cuarto grado como: $$y''''-y'''+y''-y'=0,$$ donde se eliminan todos los parámetros.
Efectivamente, se puede reescribir la solución como
$$y=a\cos x+b\sin x+ce^x+d$$ donde las cuatro constantes son independientes. Como las funciones $\cos x,\sin x,e^x$ y $1$ son linealmente independientes, la expresión tiene cuatro DOFs.
Los términos serán eliminados respectivamente por los operadores $D^2+1,D-1$ y $D$ , dando la ecuación
$$(D^2+1)(D-1)Dy=0$$
o
$$y''''-y'''+y''-y'=0$$ como se dijo en los comentarios.
