Estabilidad en el ODE autónomo

Question

Por definición, dado un sistema general $x'=f(x)$ y $f(x_0)=0$ decimos que $x_0$ es estable si $\forall\;V$ barrio de $x_0$ , $\exists\;W$ barrio de $x_0$ tal que $\forall\;x\in W,\;\varphi(t,x)$ se define $\forall\;t\geq0$ y $\varphi(t,x)\in V\quad\forall\;t\geq0$ , donde $\varphi(t,x)$ denota la solución (máxima) que pasa por el punto $(t=0,x)$ . También $x_0$ es inestable si no es estable.

¿Es cierta la siguiente negación?

$x_0$ es inestable si $\;\exists\;V$ un barrio de $x_0$ tal que $\forall\;W$ barrio de $x_0$ entonces existe $x\in W$ tal que $\varphi(t,x)\notin V \;\forall\;t\geq0$

Answer 1

Más bien esto:

...entonces existe $x$ en $W$ y $t\geqslant0$ tal que $\varphi(t,x)$ no está definido o no está en $V$ .

Recordemos que para cada proposición $P$ la negación de $(\forall x,\ P(x))$ es $(\exists x,\ \lnot P(x))$ y la negación de $(\exists x,\ P(x))$ es $(\forall x,\ \lnot P(x))$ y que, para toda proposición $P$ y $Q$ la negación de $P\land Q$ es $(\lnot P)\lor(\lnot Q)$ . Así, la negación de $$\forall V,\ \exists W,\ \forall x\in W,\ \forall t\geqslant0,\ P(x,t)\land Q(x,t),$$ es la proposición $$\exists V,\ \forall W,\ \exists x\in W,\ \exists t\geqslant0,\ (\lnot P(x,t))\lor(\lnot Q(x,t)).$$