Para aquellos que no buscan en el diagrama, el "infinito celda de la cárcel" es el límite de un tubular barrio de el entero de rejilla (incluyendo la horizontal a la vertical en líneas) en el $z = 0$ plano de $xyz$-espacio.
Si tomamos un tubular barrio de los segmentos de línea de$(0,0)$$(1, 0)$$(1,1)$$(0, 1)$%, tenemos algo toroidal. El "cilindro" descrito por Spivak se compone de la mitad de cada meridiano de este toro -- la mitad de la que más se acerque al punto de $(0,0)$. Vamos a llamar a ese cilindro $(1/2, 1/2)$; en sus límites se compone de dos al cuadrado-off círculos en el $C$ aviones.
Yo creo que lo que Spivak es lo que sugiere es que el próximo considerar la parte de la infinita celda de la cárcel que se encuentra entre dos grandes cuadrado-off círculos, esencialmente aquellas que son paralelas a la $z = \pm 1/2$plano-cuadrados con esquinas $z=0$, compensado por $(-1, -1), (2, -1), (2, 2), (-1, 2)$ en el positivo y negativo de $1/2$ direcciones. Llamar a esta parte más grande $z$. Básicamente consta de 9 celdas, el centro de uno de los cuales es $D$. El límite de $C$ se compone de cuatro círculos; el conjunto $D - C$ es claramente una 2-variedad-con-límite, por lo tanto homeomórficos a un $D-C$-metidos toro con cuatro discos quita para algunos $k$. (Estoy bastante seguro de que $k$$k$, pero podría ser fácilmente desactivada por uno o dos).
Ahora considere una $8$-orificios de toro, con la $k+2$ agujeros dispuestos en una línea, como el infinito toro dibujado por Spivak, y le cortó la izquierda y la mitad derecha de tori. Puedes terminar con un $k+2$-orificios de la superficie-con-límite, que tiene cuatro de círculo límites. Esto es claramente homeomórficos a D - C. Y de un solo cilindro, es homeomórficos a $k$, por lo que la unión, a lo largo de los límites comunes, consigue algo que homeomórficos a $C$.
Ahora procedemos por inducción: el dibujo de un 5 x 5 pares de cuadrado-off-círculos, se puede ver que la región de $D$ entre ellos y el objeto de 3x3 $E$ es también homeomórficos a un $D$-orificios de la cadena con cuatro circular extremos, etc.
En otras palabras, la región entre adyacente círculo de pares es siempre homeomórficos a un $p$-embocada-toro-con-límite, que tiene cuatro componentes del borde. Por el teorema de clasificación de la superficie, este es el mismo que el de un truncado pieza de una cadena lineal de tori. Así pues, construir una secuencia de homeomorphisms
$s$
donde $h_i : U_i \rightarrow V_i$ es una cadena de $U_i$ tori con la última mitad toro eliminado, y $(2i + 1)^2 + 1$ es la parte de la infinita de la cárcel de celda cerrada por los dos al cuadrado-fuera de los círculos de borde de longitud $V_i$. La cosa buena acerca de esta secuencia es que $i$$h_{i+1} = h_i$, por lo que el límite está bien definido y es un homeomorphism así.
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Una alternativa:
Vamos a hablar, a partir de aquí, cerca de plazas en el entero de rejilla, OK? Así que lo que hice en la primera solución fue empezar con un cuadrado de 1x1, pasar a una concéntricos cuadrado de 3x3, y así sucesivamente.
Como una alternativa, usted puede tomar, como su segundo cuadrado, un cuadrado de 2x2 cuya esquina inferior izquierda es el origen. La diferencia $U_i$ en este caso claramente es homeomórficos a un 3 orificios toro con algunos límites, y el mismo tipo de unión argumento se aplica. Ahora, como su tercera plaza, un 3x3 uno cuya parte inferior izquierda es en $D - C$. De nuevo, la diferencia de $(-1, -1)$ es claramente homeomórficos a un 5 orificios toro con algunos límites. Y, en general, se puede extender como este, alternando entre la adición de una banda hacia el noreste y la adición de una banda hacia el suroeste, poco a poco el manejo de todas las células del infinito de la cárcel de la ventana.
La ventaja del segundo método es el obvio homeomorphism entre el agregado y la tira de una $E - D$-metidos toro con algunos discos eliminado. La desventaja es que el encolado-mapa es más complejo. Yo creo que se trata de un lavado.
