Si se piensa en la homología singular, entonces el soporte es bastante fácil de entender : para una cadena $\sum n_i\sigma_i$ donde el $n_i$ son enteros no nulos, el soporte es simplemente la unión de las imágenes de $\sigma_i$ . Ahora bien, como los símiles estándar son compactos, también lo son sus imágenes y, por tanto, una unión finita. Se deduce que el soporte de un ciclo en homología simplicial es compacto. Nótese, sin embargo, que el soporte de dos ciclos homólogos no es necesariamente idéntico.
Lo mismo ocurre con los ciclos Borel-Moore. Es la unión de las imágenes de todos los simplex. El hecho de que sea localmente finito implica que el soporte es cerrado, pero no necesariamente compacto.
En cuanto a la terminología, la homología de Borel-Moore se llama a veces homología con soporte compacto. Esta terminología histórica es errónea, en realidad se trata de la homología habitual que tiene soporte compacto. Esto queda claro con la noción de soporte anterior, pero también a la luz de la dualidad de Poincaré. En efecto, se tienen isomorfismos $H_i(X)\simeq H^{d-i}_c(X)$ y $H_i^{BM}(X)\simeq H^{d-i}(X)$ que también muestra que la homología tiene soporte compacto (ya que es isomorfa a la cohomología con soporte compacto) y la homología de Borel-Moore tiene soporte no compacto (ya que es isomorfa a la cohomología). También tiene pares de intersección $$H_i\otimes H^j\to H_{i-j}$$ $$H_i^{BM}\otimes H^j\to H_{i-j}^{BM}$$ $$H_i^{BM}\otimes H^j_c\to H_{i-j}$$ $$H_i\otimes H^j_c\to H_{i-j}$$ Puedes ver que la intersección de algo (ciclo o cociclo) compacto con algo no compacto da un ciclo compacto como se esperaba (ver el tercero por ejemplo). Sólo dos dan lugar a un emparejamiento perfecto: el primero y el tercero, es decir, cuando emparejamos algo compacto con algo no compacto. Esto es bien conocido en el análisis funcional.
