Formas cuadráticas con derivadas

Question

Este enlace dice que podemos diagonalizar una forma cuadrática

$$ f(\vec{x}) = \sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_i x_j, $$ $$a_{ij} = a_{ji}, a_{ii} \neq 0$$

utilizando derivadas (?!!) en una fórmula como

$$f(\vec{x}) = \frac{1}{4a_{11}} (\frac{\partial f}{\partial x_1})^2 + f_1(\vec{x})$$

¿Existe una fórmula totalmente general con una prueba, y podemos derivar y demostrar la Método Jacobi ¿así?

Answer 1

Este es un paso en la diagonalización completando el cuadrado una y otra vez. Mientras $a_{11} \neq 0,$ el formulario revisado $$ f(x) - \frac{1}{4 a_{11} \left( \frac{\partial f}{\partial x_1} \right)^2} $$ sigue siendo una forma cuadrática, pero ya no tiene ningún término que implique $x_1.$ Por lo tanto, el paso se puede repetir. Mientras las entradas diagonales revisadas nunca se conviertan en cero, esto funciona. Si, en algún paso intermedio, las entradas revisadas $a_{kk} = 0,$ hay que hacer otras cosas.

Obras: $f = x^2 + 5 xy - 17 y^2.$ Entonces la derivada $f_1 = 2x+5y,$ entonces $f_1^2 = 4x^2 + 20 xy + 25 y^2,$ y $(1/4) f_1^2 = x^2 + 5 xy + (25/4)y^2,$ así que $$f(x) - \frac{1}{4 a_{11} \left( \frac{\partial f}{\partial x_1} \right)^2} = - \frac{93}{4} y^2 $$

No funciona: $g = 2xy$

Para un método algorítmico que funciona incluso cuando los valores propios de la matriz simétrica son muy malos, véase referencia para libros de álgebra lineal que enseñan el método de Hermite inverso para matrices simétricas