¿Cómo podemos definir en teoría de conjuntos, para cada n, un predicado de verdad parcial $Tr_n$ para $\Sigma_n$ ( $\Pi_n$ ) que a su vez es $\Sigma_n$ ( $\Pi_n$ )?

Question

Al principio del documento Clases y verdades en la teoría de conjuntos (2012, APAL) de Kentaro Fujimoto, puedes encontrar esta propuesta:

Para cada n 1, podemos definir en KP [teoría de conjuntos de Kripke-Platek con infinito] un predicado de verdad parcial $Tr_n$ para $\Sigma_n$ -fórmulas ( $\Pi_n$ -fórmulas) que en sí mismo es $\Sigma_n$ ( $\Pi_n$ ); entendemos aquí por predicado de verdad parcial un predicado que satisface los axiomas de verdad tarskianos restringidos a la complejidad acotada, donde los axiomas de verdad tarskianos son los siguientes:

1. $\forall x \forall y\ [(\ Tr\ \ulcorner \dot x = \dot y \urcorner \leftrightarrow x = y) \ \land \ (\ Tr\ \ulcorner \dot x \in\dot y \urcorner \leftrightarrow x \in y)] ;$
2. $\forall \ulcorner \sigma \urcorner\ [ Tr \ulcorner \lnot \sigma \urcorner \leftrightarrow \lnot Tr\ulcorner\sigma\urcorner \ ] ;$
3. $\forall \ulcorner \sigma \urcorner \forall \ulcorner \tau \urcorner\ [ Tr \ulcorner \sigma \land \tau \urcorner \leftrightarrow Tr\ulcorner \sigma \urcorner \land Tr\ulcorner\tau\urcorner\ ] ;$
4. $\forall \ulcorner \phi (u) \urcorner\ [ Tr \ulcorner \forall u \phi(u) \urcorner \leftrightarrow \forall x Tr \ulcorner \phi(\dot x) \urcorner \ ]. $

Aquí, $\sigma$ y $\tau$ rango sobre (códigos de) sentencias, y $\phi$ se extiende sobre (códigos de) fórmulas. Trabajamos con un formalizado (en teoría de conjuntos) lenguaje $\mathscr L_\in^\infty$ $\supseteq \mathscr L_\in$ en el que tenemos un símbolo constante $\dot x$ para cada x $\in \pmb V$ (el universo del conjunto estándar).
La estrategia para la "codificación" de la sintaxis de $\mathscr L_\in^\infty$ es la misma estrategia que se puede encontrar, por ejemplo, en el libro de Devlin " Constructibilidad ".

Pues bien, en este contexto, ¿cómo podemos encontrar los predicados de verdad parcial considerados?

Answer 1

Supongamos que KP + " $\omega$ existe". Entonces para cada conjunto transitivo $X$ hay un $\Sigma_0$ relación de satisfacción, que es un conjunto, es decir, el conjunto $$S_0(X)=\{(\varphi,\vec{x})\bigm|\varphi\text{ is a (formal) }\Sigma_0\text{-formula and }\vec{x}\in X^{<\omega}\text{ and }X\models\varphi(\vec{x})\}.$$ (Para $n<\omega$ , digamos que un $n$ -parcial- $\Sigma_0$ relación de satisfacción es como la anterior, pero sólo tiene que funcionar para la primera $n$ fórmulas $\varphi$ (pero aún así todos $\vec{x}\in X^{<\omega}$ ). Por inducción, para todo $n<\omega$ hay un $n$ -parcial- $\Sigma_0$ relación de satisfacción. La afirmación " $n<\omega$ y $S$ es un $n$ -parcial- $\Sigma_0$ relación de satisfacción para $X$ " es $\Sigma_0$ (en variables libres $(n,X,S)$ ). Así que por KP podemos recoger un conjunto que contenga uno para cada $n$ y luego separarlos y tomar su unión, que es $S_0(X)$ como se desee).

Además, para cada conjunto $X$ el cierre transitivo de $X$ existe (por un argumento más sencillo que el anterior).

Las funciones $X\mapsto\mathrm{trancl}(X)$ y $X\mapsto S_0(X)$ son, además, $\Sigma_1$ -definible (de hecho las gráficas de estas funciones son $\Sigma_0$ -definible).

Ahora es rutinario deducir la existencia de los predicados de verdad por los que has preguntado. Para $n=1$ : Definir $\mathrm{Sat}_{\Sigma_1}(\varphi,\vec{x})$ para decir " $\varphi$ es un (formal) $\Sigma_1$ fórmula de la forma $$\varphi(\vec{z})\iff\exists\vec{y}\psi(\vec{y},\vec{z}),$$ en variables libres $\vec{z}$ , donde $\psi$ es un (formal) $\Sigma_0$ fórmula y $\mathrm{lh}(\vec{z})=\mathrm{lh}(\vec{x})$ , y hay $\vec{w}$ y un conjunto transitivo $X$ con $\vec{x},\vec{w}\in X$ y hay $S=S_0(X)$ y $(\varphi,\vec{w}\frown\vec{x})\in S$ ".

Entonces, para todos los meta $\Sigma_1$ fórmulas $\varphi$ obtenemos $\mathrm{Sat}_{\Sigma_1}(\mathrm{G}(\varphi),\vec{x})$ si $\varphi(\vec{x})$ , donde $G(\varphi)$ es el código de $\varphi$ como fórmula formal.

Esto nos lleva fácilmente a la fórmula de $\mathrm{Sat}_{\Pi_1}$ también.

Entonces $\mathrm{Sat}_{\Sigma_2}(\varphi,\vec{x})$ dice " $\varphi$ es (formal) $\Sigma_2$ fórmula de la forma $\exists\vec{y}\psi(\vec{y},\vec{z})$ , donde $\psi$ es $\Pi_1$ y $\vec{z}$ son gratis con $\mathrm{lh}(\vec{z})=\mathrm{lh}(\vec{x})$ y hay $\vec{w}$ tal que $\mathrm{Sat}_{\Pi_1}(\psi,\vec{w}\frown\vec{x})$ ".