¿Cuál es la probabilidad de que el polinomio tenga raíces reales?

Question

Las variables $a$ , $b$ y $c$ son variables aleatorias iid con distribución exponencial con parámetro común $1$ . ¿Cuál es la probabilidad de que el polinomio $ax^2+bx+c$ tiene verdaderas raíces?

Mi intento:

$\Pr[ax^2+bx+c\;\text{has real roots}]=\Pr[b^2-4ac\geqslant0]=\Pr[b\geqslant2\sqrt{ac}\;\text{or}\;b\leqslant-2\sqrt{ac}]=\Pr[b\geqslant2\sqrt{ac}]=\int_0^\infty\int_0^\infty\int_{2\sqrt{ac}}^\infty f_{a,b,c}(a,b,c)dadbdc$

¿Estoy en lo cierto? ¿Cómo puedo continuar?

Answer 1

\begin{align} \mathsf P\left(a\gt \frac{b^2}{4c}\right) &=\int_0^\infty\int_0^\infty\int_{\frac{b^2}{4c}}^\infty\exp(-a-b-c)\,\mathrm da\,\mathrm db\,\mathrm dc\\ &=\int_0^\infty\int_0^\infty\exp\left(-\frac{b^2}{4c}-b-c\right)\mathrm db\,\mathrm dc\\ &=\int_0^\infty\int_0^\infty c\exp\left(-\frac{s^2}4c-sc-c\right)\mathrm ds\,\mathrm dc\\ &=\int_0^\infty\int_0^\infty c\exp\left(-\left(\frac s2+1\right)^2c\right)\mathrm dc\,\mathrm ds\\ &=\int_0^\infty\left(\frac s2+1\right)^{-4}\,\mathrm ds\\ &=16\int_2^\infty s^{-4}\,\mathrm ds\\ &=\frac23 \end{align}

(donde he utilizado la sustitución $b=sc$ ), por lo que la probabilidad deseada es $\frac13$ . Como escribí en un comentario, me sorprende que esto tenga una forma cerrada tan bonita, más aún que la probabilidad sea $\frac13$ que pide a gritos una solución con una transformación a tres cantidades simétricas de las cuales una debe ser la mayor; he publicado una nueva pregunta al respecto: Prueba simétrica para la probabilidad de las raíces reales de una cuadrática con parámetros distribuidos exponencialmente .