Grados de libertad de este tensor

Question

Me gustaría saber el grados de libertad (dof) del tensor $f$ :

\begin{equation} f_{\mu \nu} = \partial_\mu \xi_\nu+\partial_\nu \xi_\mu \end{equation}

en 4 dimensiones utilizando la notación de índice común. Ingenuamente esperaría que fuera 4 ya que si elijo $\xi$ reduce la dof en 4 y el tensor $f$ debe estar completamente determinado.

Por otro lado, en la RG débil (ondas gravitacionales), la fijación de la libertad gauge debería reducir la dof de la métrica de 10 (simétrica) a 2 (gauge transversal sin trazos). Así que se esperaría que el tensor $f$ para tener 8 dof.

¿Cuál es el número correcto?

Answer 1

Tienes razón, hay 4 grados de libertad.

En la Relatividad General, 4 grados de libertad más no son dinámicos, porque entran en la Lagrangiana sin derivadas temporales.

La mejor manera de demostrar que el número correcto de d.o.f. es 2 es utilizar el formalismo ADM (Hamiltoniano) para la RG. En ADM nosotros:

1. Excluye los grados de libertad no dinámicos (multiplicadores lagrangianos), lo que deja 6 d.o.f. dinámicos dispuestos como la métrica de corte espacial ADM (3D) (también conocida como la 1ª forma fundamental).

2. Aplica 4 restricciones derivadas de las 4 transformaciones gauge que has descrito. Esto nos deja con el total de 2 d.o.f.

Answer 2

Tienes razón en que dado el tensor,

$$f_{\mu\nu} = \partial_\mu \xi_\nu + \partial_\nu \xi_\mu$$

si especificamos el vector $\xi^\mu$ entonces $f_{\mu\nu}$ está completamente determinado. Siempre que no haya restricciones en el vector $\xi^\mu$ que podría utilizarse para recuperar uno o más componentes de otro, entonces los grados de libertad en $d$ -espacio dimensional de $f_{\mu\nu}$ es $d$ .