Cuando nuestro dominio es un campo ( $\mathbb R$ o $\mathbb C$ ) tenemos el lujo de definir la derivada como el límite de las diferencias divididas. No así en $\mathbb R^2$ (y en otros espacios vectoriales), donde no hay división del vector por otro vector. Por lo tanto, debemos utilizar la definición más flexible de derivada (equivalente a la habitual en $\mathbb R$ y $\mathbb C$ ): una función $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ es $\mathbb R$ -diferenciable en $\vec x\in\mathbb R^2$ si existe un $2\times 2$ matriz $A$ tal que $$\lim_{\vec h\to 0}\frac{1}{|\vec h|}\left|f(\vec x+\vec h)-f(\vec x)-A\vec h\right|=0 \tag1$$ Reescribamos también la definición de diferencia dividida de la diferenciabilidad compleja de forma similar a (1): una función $f:\mathbb C\to\mathbb C$ es $\mathbb C$ -diferenciable en $\vec z\in\mathbb C$ si existe un número complejo $a$ tal que $$\lim_{h\to 0}\frac{1}{| h|}\left|f(z+ h)-f(z)-ah\right|=0 \tag2$$ Pensar en los números complejos como vectores en $\mathbb R^2$ podemos representar el mapa lineal $h\mapsto ah$ por la matriz $$A=\begin{pmatrix} \operatorname{Re}\,a & -\operatorname{Im}\,a \\ \operatorname{Im}\,a & \operatorname{Re}\,a \end{pmatrix} \tag3$$ Con esta interpretación, (2) es claramente un caso especial de (1).
También es instructivo considerar el camino de (1) a (2). Si la matriz $A$ resulta ser antisimétrico con diagonal constante, entonces podemos formar el número complejo $a$ como en (3), que, según (2), es la derivada compleja $f'(z)$ . Por lo tanto, lo siguiente es equivalente:
- $f$ es $\mathbb C$ -diferenciable en $z$
- $f$ es $\mathbb R$ -diferenciable en $z$ y su matriz de derivación es antisimétrica con diagonal constante
Por supuesto, "antisimétrico con diagonal constante" dice precisamente que las ecuaciones de Cauchy-Riemann $u_x=v_y$ y $u_y=-v_x$ mantener en el punto de interés.
