¿Cuántas funciones Convexas e Impares existen?

Question

Durante el almuerzo se me ocurrió esta pregunta.

Cuántas funciones Impares y convexas $f: R \to R $ ¿Existe?

Adiviné sólo 1, a saber $f(x)=ax$ donde $a$ es un número real fijo. Pero no pude demostrarlo ni dar un contraejemplo.

Answer 1

Múltiplos escalares de $x$ son los únicos ejemplos.

Para ver por qué, suponga que le dan $(1, f(1))$ así como $(0, 0) = (0, f(0))$ . Dibuja la línea que une estos dos puntos, así como su prolongación por $(-1, f(-1))$ .

Desde $f$ es convexo, su gráfica para $0 < x < 1$ se encuentra en esta línea o por debajo de ella. Si el gráfico cae por debajo de la línea, entonces usando la rareza de $f$ implica que se sobrepasa la línea que une $-1$ y $0$ contradiciendo la convexidad.

Por lo tanto, $f$ debe coincidir con una línea recta para $x \in (0, 1)$ . No es difícil extender este argumento a $\mathbb{R}$ .