¿Matriz de covarianza de un modelo AR(1)?

Question

La matriz de covarianza de los valores del modelo AR(1) $X_t = \phi X_{t-1} + Z_t$ a veces $t=1$ y $t=3$ es útil para encontrar el mejor predictor lineal de $X_2$ dado $X_1$ y $X_3$ .

Dejemos que $W = (X_1, X_3)^T$ ¿Cuál es la matriz de covarianza de $W$ ?

Así, se pregunta por las varianzas de $X_1$ y $X_3$ y para la covarianza de $X_1$ y $X_3$ .

Answer 1

Supongamos que $(Z_t)$ es i.i.d. y centrado y que $(X_t)$ es estacionario.

Al elevar al cuadrado la relación de definición del proceso A(1) se obtiene $$X_t^2=\phi^2X_{t-1}^2+2\phi X_{t-1}Z_t+Z_t^2$$ por lo que $$E(X^2)=\phi^2E(X^2)+E(Z^2)$$ es decir, $$ E(X^2)=\alpha^2E(Z^2)$$ donde $$\alpha^2=\frac1{1-\phi^2} $$ Utilizando el mismo enfoque, observe que $$X_t=Z_t+\phi X_{t-1}=Z_t+\phi Z_{t-1}+\phi^2X_{t-2}$$ produce $$X_tX_{t-2}=Z_tX_{t-2}+\phi Z_{t-1}X_{t-2}+\phi^2X_{t-2}^2$$ por lo que $$ E(X_tX_{t-2})=\phi^2E(X^2)=\alpha^2\phi^2E(Z^2). $$ En general, para cada $t$ y $s$ ,

$$ E(X_tX_s)=\alpha^2\phi^{|t-s|}E(Z^2). $$

Answer 2

Probablemente, hay que asumir que $X_{0} = 0$ y que $(X_{t})$ y $(Z_{t})$ son independientes. También supondré que $Z_{1},Z_{2},Z_{3}$ comparten un medio común $E(Z_{i}) = \mu_{Z}$ .

Si esto es cierto,

Cov $(X_{1},X_{1}) = Var(X_{1}) = Var(Z_{1})$

Para encontrar $Cov(X_{1},X_{3})$ Primero observe que $X_{2} = \phi X_{1} + Z_{2}$ para que

$X_{3} = \phi X_{2} + Z_{3} = \phi(\phi X_{1} + Z_{2}) + Z_{3} = \phi^{2}X_{1} + \phi Z_{2} + Z_{3}$ .

Por lo tanto,

$E(X_{3}) = \phi^{2}E(X_{1}) + \mu_{Z}(\phi + 1)$ .

y

$E(X_{3}X_{1}) = \phi^{2}E(X_{1}^{2}) + \phi E(X_{1}Z_{2}) + E(X_{1}Z_{3}) = \phi^{2}E(X_{1}^{2}) + \mu_{Z}E(X_{1})(\phi + 1)$ .

Finalmente, \begin{eqnarray} Cov(X_{3},X_{1}) &=& E(X_{3}X_{1}) - E(X_{3})E(X_{1}) \\ &=& \phi^{2}E(X_{1}^{2}) + \mu_{Z}E(X_{1})(\phi + 1) - \phi^{2}E(X_{1})^{2} + \mu_{Z}E(X_{1})(\phi + 1) \\ &=& \phi^{2}E(X_{1}^{2}) - \phi^{2}E(X_{1})^{2} \\ &=& \phi^{2}Var(X_{1}) \\ &=& \phi^{2}Var(Z_{1}) \end{eqnarray}