Encontrar la derivada $ 7^{\ln x} $ utilizando el primer principio

Question

Todavía no puedo entender esto,

La pregunta es Encontrar la Derivada $ 7^{\ln(x)} $ utilizando el primer principio

Aquí es donde tengo

$$\lim_{h \to 0} \frac{7^{\ln(x+h)} - 7^{\ln(x)}}{h} $$

Entonces, ¿qué debo hacer?

Answer 1

Obsérvese que el cálculo de la derivada de $f(x)$ a través de los primeros principios significa que tenemos que calcular el límite $$\lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$ sin utilizar ninguna regla de diferenciación.

Aquí $f(x) = 7^{\log x}$ y podemos proceder como sigue \begin{align} f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}\notag\\ &= \lim_{h \to 0}\frac{7^{\log(x + h)} - 7^{\log x}}{h}\notag\\ &= 7^{\log x}\lim_{h \to 0}\frac{7^{\log(x + h) - \log x} - 1}{h}\notag\\ &= 7^{\log x}\lim_{h \to 0}\frac{7^{\log(x + h) - \log x} - 1}{\log(x + h) - \log x}\cdot\frac{\log(x + h) - \log x}{h}\notag\\ &= 7^{\log x}\lim_{h \to 0}\frac{7^{\log(x + h) - \log x} - 1}{\log(x + h) - \log x}\cdot\lim_{h \to 0}\frac{\log(x + h) - \log x}{h}\notag\\ &= 7^{\log x}\lim_{t \to 0}\frac{7^{t} - 1}{t}\cdot\lim_{h \to 0}\frac{\log((x + h)/x)}{h}\text{ (by putting }t = \log(x + h) - \log x)\notag\\ &= 7^{\log x}\lim_{t \to 0}\frac{e^{t\log 7} - 1}{t}\cdot\lim_{h \to 0}\frac{\log(1 + (h/x))}{h}\notag\\ &= 7^{\log x}\lim_{t \to 0}\log 7 \cdot\frac{e^{t\log 7} - 1}{t\log 7}\cdot\lim_{h \to 0}\frac{\log(1 + (h/x))}{h/x}\cdot\frac{1}{x}\notag\\ &= \frac{7^{\log x}\log 7}{x}\lim_{y \to 0}\cdot\frac{e^{y} - 1}{y}\cdot\lim_{z \to 0}\frac{\log(1 + z)}{z}\text{ (putting }y = t\log 7, z = h/x)\notag\\ &= \frac{7^{\log x}\log 7}{x}\cdot 1\cdot 1\notag\\ &= \frac{7^{\log x}\log 7}{x} \end{align}

Answer 2

Tenga en cuenta que $7^{\ln(x)} = \left(e^{\ln(7)} \right)^{\ln(x)} = \left(e^{\ln(x)} \right)^{\ln(7)} = x^{\ln(7)}$ .

A partir del teorema del binomio generalizado, tenemos $$(x+h)^{\alpha} = \sum_{k=0}^{\infty} \dbinom{\alpha}k x^{\alpha-k}h^k = x^{\alpha} + \alpha x^{\alpha-1}h + h^2 f(x,h;\alpha)$$ donde $f(x,0;\alpha)$ es continua en $h$ con $f(x,0;\alpha) = 0$ . Por lo tanto, $$\dfrac{(x+h)^{\alpha}-x^{\alpha}}h = \alpha x^{\alpha-1} + hf(x,h;\alpha)$$ Por lo tanto, tenemos $$\lim_{h \to 0}\dfrac{(x+h)^{\alpha}-x^{\alpha}}h = \alpha x^{\alpha-1} + \lim_{h \to 0}hf(x,h;\alpha) = \alpha x^{\alpha-1}$$

Por lo tanto, tenemos $$\lim_{h \to 0} \dfrac{7^{\ln(x+h)}-7^{\ln(x)}}h = \lim_{h \to 0} \dfrac{(x+h)^{\ln(7)}-x^{\ln(7)}}h = \ln(7)x^{\left(\ln(7)-1\right)}$$

Answer 3

No estoy seguro de si esto es un "primer principio" o no, pero como $7^a = e^{(\ln x)(\ln 7)}$ para cualquier $a$ tienes $$7^{\ln x} = e^{(\ln x)(\ln 7)}.$$ Así, $$\lim_{h \to 0} \frac{7^{\ln(x+h)} - 7^{\ln x}}{h} = \frac d{dx} e^{(\ln x)(\ln 7)}$$ que se puede calcular utilizando las reglas habituales de diferenciación.

Answer 4

Esta es la derivada de $(7)^{\ln x}$ o la derivada de $e^{\ln x\cdot \ln 7}$ o la derivada de $x^{\ln 7}$ que es $\ln 7 \cdot x^{(\ln 7) -1}=(1/x)\ln7\cdot x^{\ln7}$ .

Answer 5

$$\lim_{h \to 0} \frac{7^{\ln(x+h)}-7^{\ln(x)}}{h}=$$ $$7^{\ln(x)}\lim_{h \to 0} \frac{7^{\ln(x+h)-\ln(x)}-7^{\ln(x)-\ln(x)}}{h}$$ $$7^{\ln(x)}\lim_{h \to 0} \frac{7^{\ln(1+h/x)}-1}{h}$$ Utilizo la expansión de la serie Maclaurin de $\ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+\,\dots$ : $$7^{\ln(x)}\lim_{h \to 0} \frac{7^{h/x}-1}{h}$$ $$7^{\ln(x)}\lim_{h \to 0} \frac{(7^{1/x})^h-1}{h}$$ Ahora utilizo el conocido límite $\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{a^h-1}{h}=\ln(a)$ :

$$7^{\ln(x)}\ln(7^{1/x})=\frac{7^{\ln(x)}\ln(7)}{x}$$