Dejemos que $l_1$ y $l_2$ sean dos curvas simples cerradas en $S$ , donde $S$ es una superficie orientada cerrada y conectada de género $g \geq 1$ . $l_1$ y $l_2$ se cruzan transversalmente exactamente en dos puntos de cruce de forma que el número de intersección geométrica es cero. Mi pregunta es cuál es la interpretación geométrica de este número de intersección cero. Sé que si $g=1$ (Torus), entonces el número de intersección cero entre dos curvas simples cerradas significa que las dos curvas pertenecen a la misma clase de homología si ambas no son homólogas a cero o significa que una de las dos curvas debe ser homóloga a cero. Veo que esto no es exacto para $g>1$ . ¿Es cierto que si el número de intersección es cero entre dos curvas simples cerradas en cualquier superficie de cualquier género, entonces una de las curvas es homóloga a cero?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
(Supongo que con "simple" te refieres a "no autointersección" y no a "límite de un disco incrustado"...)
Las curvas no tienen por qué pertenecer a la misma clase de homología, aunque sean homológicamente no triviales, al menos para $g > 3$ . Considera un anillo de donuts. Permítanme ser más explícito:
Coloca 12 rosquillas en una mesa con el agujero de cada rosquilla encima de uno de los números del dibujo de un reloj, para poder llamarlas rosquillas del 1 al 12. Ahora une cada donut con sus dos vecinos (quizás rellenando el hueco con un poco de glaseado); ahora es un toro de 13 agujeros. Dibuja una curva en la parte superior de esta cosa, comenzando en el 12 y recorriendo el borde interior (pero cerca de la parte superior, es decir, lejos de la mesa) pasando por el 1, el 2, ..., todo el camino hasta el 6 y un poco más allá, dirigiéndose hacia el borde exterior, y luego de vuelta hasta un poco antes del 12, y a través del borde interior, y cierra la curva. (Básicamente... la curva obvia que "encierra" todos los agujeros del lado derecho de la esfera del reloj). Llama a esta curva $B$ .
Ahora dibuja una curva análoga en el lado izquierdo: Empieza en el borde interior, cerca de las 12, de modo que estés en la curva $B$ y continuar alrededor, en el borde interior, hacia 11, 10, todo el camino hasta 5:30, donde se cruza de nuevo la curva $B$ . Pero ahora continúa la curva abajo a través del agujero de las 5, y luego, cerca de la parte superior de la mesa, en la parte exterior (pero baja), dirígete hacia las 6, 7, 8, ..., hasta llegar a las 12:30, y luego sube por el agujero de la 1 y conecta hacia arriba. Llama a esta curva $Q$ .
$Q$ y $B$ se cruzan exactamente en dos puntos, pero claramente no son homólogos. (Consideremos la curva de intersección con un "meridiano" que simplemente pasa "por el agujero" a las 9 horas. Curva $Q$ la cruza una vez, la curva $B$ lo cruza $0$ veces).
(Sí, podría haber hecho un dibujo. Pero me imaginé que tendría algún valor para usted para dibujar uno, así que lo he descrito en su lugar).
Esto deja abierta su pregunta para $g = 2, 3$ pero tal vez le sugiera cómo podría buscar respuestas en esos casos.
Ah, diablos... sigamos adelante y terminemos. Las curvas que he descrito anteriormente son interesantes porque sus números de intersección orientados es $+2$ . Pero pongamos un toroide de 2 agujeros en una mesa, y dibujemos un círculo $K$ en la parte superior que encierra el agujero izquierdo, y un círculo $L$ encerrando el agujero derecho. Es fácil hacerlas disjuntas, o hacerlas tangentes en el "punto medio" de la superficie superior, o, ampliándolas un poco más, hacerlas intersecar en dos puntos. Una vez más, ninguna de las dos es homóloga, ni las curvas son homólogas entre sí (como muestran de nuevo las intersecciones con los meridianos).
