En $m$ cualquier número real, qué números de $n$ está de acuerdo con $\frac{x^m}{m}=\frac{x^n}{n}$ ?

Question

¿Hay un número infinito de $n$ que está de acuerdo con $\frac{x^m}{m}=\frac{x^n}{n}$ ? Y sí, $x$ es una variable que no puede ser modificada.

Answer 1

En lo que sigue supondré $x\ge0$ (por lo demás $x^m$ puede no estar definido) y utilizar su primera formulación. Me parece que su pregunta es ambigua.

Si se pregunta si dado $m\in\mathbb{R}$ existe $n\in\mathbb{R}$ , $n\ne m$ , de tal manera que $$ m\,x^n=n\,x^m\tag1 $$ para todos $x\ge0$ entonces la respuesta es no. Para verlo, dejemos $x=1$ en (1) para obtener $n=m$ .

Si se pregunta si dado $m\in\mathbb{R}$ existe $n\in\mathbb{R}$ , $n\ne m$ de manera que (1) se cumpla para algunos $x\ge0$ entonces la respuesta es sí. Si $m\ne0$ entonces para cualquier $n\in\mathbb{R}$ tal que $n/m>0$ hay dos soluciones de (1): $$ x=0,\quad x=\Bigl(\frac{n}{m}\Bigr)^{\tfrac{1}{n-m}}. $$ Si $m=0$ para cualquier $n\in\mathbb{R}$ , $n\ne0$ la única solución de (1) es $x=0$

Answer 2

Considerando sólo los valores reales positivos de $x$ , $m$ y $n$ :

Para $0 \lt x \le 1$ , $f(x) = \frac{x^n}{n}$ es una función estrictamente decreciente de $n$ , por lo que sólo hay un solución para $n$ de $\frac{x^m}{m}=\frac{x^n}{n}$ , a saber $n=m$ .

Para $1 \lt x$ , $f(x) = \frac{x^n}{n}$ es una función estrictamente decreciente de $n$ hasta $n=1/\log_e(x)$ y después una función estrictamente creciente, con límites infinitos en $0+$ y $\infty$ . Así que si $m=1/\log_e(x)$ entonces sólo hay un solución para $n$ de $\frac{x^m}{m}=\frac{x^n}{n}$ , a saber $n=m$ ; de lo contrario, hay dos soluciones, una de las cuales es $n=m$ .

Si se trata de valores enteros positivos de $x$ , $m$ y $n$ el único ejemplo no trivial es : $\frac{2^1}{1} = \frac{2^2}{2}.$