Dejemos que $f:Y\rightarrow X$ sea un morfismo biracional de variedades proyectivas lisas, $F$ un divisor efectivo en $X$ , $D=f^{-1}F_{\mathrm{red}}+\mathrm{Ex}(f)$ , $B$ una subvariedad suave de $Y$ contenida en el locus no-snc de $D$ es $f_*(\mathcal{O}_B(K_Y+D))$ siempre es distinto de cero en $X$ ? Si la dimensión de $B$ y $f(B)$ son iguales la cuestión es trivial, pero tengo poca idea sobre el caso general.
Respuesta
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Puede ser cero. Por ejemplo, dejemos que $X$ sea $\mathbb{P}^3$ . Sea $q$ ser un $k$ -punto. Sea $G$ y $H$ sean hipersuperficies lisas en $\mathbb{P}^3$ que contienen $q$ y tal que, como subespacios lineales del espacio tangente de Zariski $T_q(X)$ , $T_q(G)$ es igual a $T_q(H)$ . Llamamos a este subespacio común $S$ . Sea el divisor efectivo $\underline{F}$ sea $\underline{G}+\underline{H}$ .
Dejemos que $f:Y\to X$ ser la explosión de $\mathbb{P}^3$ en $q$ . Así, el divisor excepcional $E=\text{Ex}(f)$ es $\mathbb{P} T_q(\mathbb{P}^3)$ que es isomorfo a $\mathbb{P}^2$ . Las transformaciones estrictas $f^{-1}G$ y $f^{-1}H$ son hipersuperficies lisas en $Y$ cuyas intersecciones con $E$ son ambos iguales a $\mathbb{P} S$ .
Dejemos que $B$ sea $\mathbb{P} S$ para que $B$ es isomorfo a $\mathbb{P}^1$ . Entonces $D$ no es un simple divisor de cruces normales en $B$ ; $D$ es "triple" a lo largo de $B$ . Por cálculo directo, $\mathcal{O}_Y(K_Y+D)|_E$ es isomorfo a $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(-3+1+1) = \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(-1)$ . Por lo tanto, la restricción a la línea $B$ es $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-1)$ . Por lo tanto, el pushforward $f_*(\mathcal{O}_Y(K_Y+D)|_B)$ es cero.
