¿Regla del cociente extensible a funciones de vectores?

Question

¿Se puede aplicar la regla del cociente cuando se trata de funciones diferenciales de vectores?

Answer 1

La expresión a diferenciar tiene que tener sentido en primer lugar; por ejemplo, no debe ser un cociente de vectores. Supongamos que este es el caso. Por ejemplo, nos dan una función

$$h: \ {\mathbb R}^n\ \to\ {\mathbb R}, \quad h(x)\ := {f(x)\over g(x)}$$

con valores reales $f$ y $g$ y queremos calcular su gradiente $\nabla h$ . El $i$ La componente de este gradiente se obtiene diferenciando el cociente ${f\over g}$ con respecto a la única variable real $x_i$ y para esta operación la regla del cociente es ciertamente válida:

$$\bigl(\nabla h\bigr)_i(x)={\partial \over \partial x_i}\Bigl( {f(x)\over g(x)}\Bigr)= {f_{.i}(x)g(x)-f(x)g_{.i}(x) \over g^2(x)}\qquad(1\leq i\leq n)\ .$$

Por tanto, en notación vectorial tenemos

$$\nabla h(x)={g(x)\ \nabla f(x)\ -\ f(x)\ \nabla g(x) \over g^2(x)}\ ,$$

o

$$\nabla{f\over g}={g\ \nabla f\ -\ f\ \nabla g\over g^2}\ ,$$

que se parece precisamente a la conocida regla del cociente.