Número de términos distintos en la expansión de $\big(x+\frac{1}{x}+x^2+\frac{1}{x^2}\big)^{15}$

Question

Número de términos distintos en la expansión de $\bigg(x+\dfrac{1}{x}+x^2+\dfrac{1}{x^2}\bigg)^{15}$ es igual a ?

Podemos escribir lo anterior como

$$ \bigg(x+\dfrac{1}{x}+x^2+\dfrac{1}{x^2}\bigg)^{15} = \dfrac{1}{x^{30}}(1+x+x^3+x^4)^{15} $$ Ahora mi profesor dice que podemos expandir el polinomio $(1+x+x^3+x^4)^{15} $ como, $$ (1+x+x^3+x^4)^{15} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3.....a_{60}x^{60} $$ Por lo tanto, como cada término se divide por $x^{30}$ el número de términos distintos sería igual a 61.

Pero mi pregunta es cómo sabemos que la expansión del polinomio $(1+x+x^3+x^4)^{15} $ contendrá todos los poderes de $x$ de $x^0$ a $x^{60}$ ?

Answer 1

Un término general (sin el coeficiente) del polinomio $(1+x+x^3+x^4)^{15}$ se verá como $$x^{a+3b+4c} \qquad \text{ where } 0 \leq a,b,c, \leq 15.$$ Así que su pregunta es ahora para demostrar que $a+3b+4c$ puede tomar todos los valores enteros entre $0$ y $60$ .

Para los números en $0 \to 15$ dejar $a$ varían y tienen $b=c=0$ .

Ahora intente hacer lo mismo para otros rangos para convencerse de que todas las potencias se obtendrán para las combinaciones correctas de $a,b$ y $c$ .

Answer 2

Su expresión es igual a $$ \frac1{x^{30}}(x^3+1)^{15}(x+1)^{15} $$ $(x^3+1)^{15}$ contiene $16$ términos, cada uno de los cuales contiene una potencia de $x^3$ con un coeficiente positivo. Dado que $(x+1)^{15}$ contiene $16$ términos de poderes consecutivos de $x$ con coeficientes positivos, el producto rellenará los huecos de $(x^3+1)^{15}$ . Por lo tanto, en su expresión, hay términos no nulos de $x^{30}$ a $x^{-30}$ .

De hecho, el coeficiente de $x^n$ es el número de soluciones de $4a+3b+c=n$ donde $a+b+c\le15$ y $a,b,c\ge0$ . Por lo tanto, siempre hay al menos una solución para $0\le n\le60$ y no hay soluciones para otros valores de $n$ .

Esto significa que $61$ términos distintos.