Compactación de un punto para $(1,\infty)$ ?

Question

Dejemos que $f:(0,1) \rightarrow \mathbb{R}$ venga dada por la función $f(x) = 1/x$ . Me gustaría construir una compactación de un punto del rango de esta función tal que pueda convertir $(1,\infty) \mapsto S^1$ . Sé que puedo unir un punto en el infinito para $(1,\infty)$ y envolvemos toda la gráfica de la función en un círculo e indicamos el punto infinito como el punto que añadimos a la esfera. Sin embargo, ¿cómo debo hacer esto correctamente? ¿Debo construir un homeomorfismo como la proyección estereográfica que compacte $\mathbb{R}^2$ ?

Gracias.

Answer 1

Añadir un punto $\infty$ con barrios abiertos básicos $\{\infty\}\cup(1,a)\cup (b,\infty)$ , $1<a<b$ .

Answer 2

$(1,\infty)$ es homeomorfo a $\Bbb R$ y las compactificaciones de un punto de los espacios homeomórficos son homeomórficas, $X$ y $Y$ son homeomórficos. Demostrar que también sus compactificaciones de un punto son homeomorfas. .

Pero, la compactación de un punto de $\Bbb R$ es $\Bbb S^1$ , ¿cuál es la compactación de un punto de R?

Answer 3

Un enfoque más detallado que no utiliza muchos resultados externos (y por lo tanto es un poco engorroso) es el siguiente:

Tu intuición es correcta, necesitas añadir un punto $p$ en el infinito. Pero entonces sólo tienes el conjunto $X := (1,\infty) \cup \{p\}$ pero lo que quieres no es un conjunto sino un espacio topológico compacto.

Por lo tanto, es necesario definir una topología en $X$ . La topología $\mathcal T$ que definimos es la que formaliza su intuición de "envolver toda la gráfica de la función en un círculo e indicar el punto infinito como el punto que añadimos a la esfera". Por lo tanto, tomamos la topología estándar sobre $(1,\infty)$ es decir, la topología del subconjunto de $\mathbb R$ y ampliarlo con conjuntos que contengan $p$ que queremos que sea abierto. En este paso hay que pensar un poco, pero intuitivamente debe quedar claro qué conjuntos elegimos.

Ahora obtenemos un espacio topológico $(X, \mathcal T)$ y queda por demostrar que es homeomorfo a $S^1$ (y compacto). Así que hacemos lo más sencillo: definimos un mapa $g:S^1 \to X$ y demostrar que es un homeomorfismo. Para obviar $g$ podemos ampliar $f$ a $[0,1]$ por $f(0)=f(1)=p$ que desciende al cociente $S^1 = [0,1] / \{0\sim 1\}$ .

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Entonces, ¿realmente conseguimos una compatibilidad de $(1,\infty)$ ?

Una definición estándar de una compactación de un espacio $Y$ es una incrustación $i:Y\to Z$ en un espacio compacto $Z$ de manera que la imagen $i(Y)$ es denso en $Z$ es decir, su cierre es $\overline{ i(Y)} = Z$ . En nuestro caso, $Y = (1,\infty)$ , $Z = (1,\infty) \cup \{p\} = X$ con las respectivas topologías. $i$ es la inclusión estándar, es decir, la identidad en $(1,\infty)$ .
Tenemos que demostrar tres cosas:

1. El mapa $i$ es una incrustación
2. Su imagen $i(Y)$ es denso en $Z$ .
3. El espacio $Z$ es compacto.

La primera es clara, $i$ es inyectiva, continua y un homeomorfismo sobre su imagen (su identidad).
Para la segunda parte, observe que $i(Y)$ no está cerrado (como $\{p\}$ no está abierto por definición de $\mathcal T$ ), por lo que su cierre debe ser $X$ .
Así que la única parte no obvia es la tercera, que muestra que $X$ es compacto, lo que hice en una parte anterior de la respuesta.

También hay que tener en cuenta que para satisfacer las propiedades 1 y 2, basta con unificar $Y$ con un punto $p$ con el conjunto $\{p\}$ no está abierto. Así que la parte difícil cuando se construye una compactación es la 3. (Por lo que a menudo sólo se demuestra explícitamente la 3.).